Изложение системы мира - Лаплас Пьер Симон - Страница 43

Этот способ анализа малых колебаний тел может быть распространён на любую систему. Если предположить, что система выведена из состояния равновесия очень малыми импульсами и затем ей сообщены ещё новые импульсы, она будет колебаться по отношению к последовательным состояниям, которые она приняла в силу первых импульсов, таким же образом, каким она колебалась бы по отношению к состоянию своего равновесия, как если бы в этом состоянии ей были сообщены только новые импульсы. Очень малые колебания системы тел, как бы они ни были сложны, могут поэтому рассматриваться как сформированные из простых колебаний, в точности подобных колебаниям маятника. В самом деле, если представить себе систему первоначально в состоянии покоя и затем очень незначительно выведенную из состояния равновесия так, чтобы сила, действующая на каждое тело, стремилась вернуть его в положение, которое оно занимало в этом состоянии, и, кроме того, была пропорциональна расстоянию тела от этой точки, то ясно, что это будет иметь место во время колебания системы, и в каждый момент скорости разных тел будут пропорциональны их расстояниям от положения равновесия. Поэтому все тела одновременно придут в это положение и будут колебаться как простой маятник. Но предположенное нами нарушение равновесия системы — не единственно возможное. Если отдалить одно из тел от его положения равновесия и искать положения других тел системы, которые удовлетворяли бы предыдущим условиям, мы придём к уравнению, степень которого равна числу тел системы, подвижных относительно друг друга. Для каждого тела это даёт столько видов простых колебаний, сколько имеется тел. Представим себе, что у системы — колебания первого вида, и в некоторый момент мысленно все тела отдалим от их положений, пропорционально величинам, соответствующим колебаниям второго вида. В силу сосуществования колебаний система будет колебаться но отношению к последующим состояниям, которые она имела бы при колебаниях первого вида, так же, как если бы она имела колебания только второго вида вокруг своего равновесного состояния. Её движение, таким образом, будет сформировано из двух видов колебаний. Подобным же образом с этим движением можно скомбинировать третий вид колебаний и, продолжая комбинировать все эти виды колебаний самым общим способом, путём синтеза составить все возможные движения системы, лишь бы они были очень малы. И, наоборот, путём анализа можно разложить движения на простые колебания. Отсюда следует простой способ распознавания абсолютной устойчивости равновесия системы тел. Если во всех положениях, относящихся ко всем видам колебаний, силы стремятся возвратить тела в состояние равновесия, это состояние будет устойчивым. Оно таким не будет или будет иметь только относительную устойчивость, если в некоторых из положений системы силы стремятся отдалить тела от положения равновесия.

Ясно, что этот способ анализа очень малых движений системы тел может быть распространён даже на жидкости и газы, колебания которых являются результатом простых, одновременно существующих и часто бесчисленных колебаний.

В распространении волн мы имеем наглядный пример сосуществования очень малых колебаний. Если в некоторой точке возбудить поверхность стоячей воды, мы увидим, как формируются и распространяются от этой точки круговые волны. Возбуждая поверхность в другой точке, мы создадим новые волны, которые смешиваются с первыми. Они накладываются на поверхность, возмущённую первыми волнами, как расположились бы на этой поверхности, если бы она была спокойной, так что их можно хорошо отличить в смеси волн. То, что глаз различает в случае волн на воде, ухо распознает в звуках, или колебаниях воздуха, которые распространяются одновременно, не изменяясь, и очень хорошо различимы между собой.

Принцип сосуществования простых колебаний, установленный Даниилом Бернулли, является одним из тех общих результатов, которые пленяют воображение той лёгкостью, с которой они позволяют ему представлять явления и их последовательные изменения. Он легко выводится математически из аналитической теории малых колебаний системы тел. Эти колебания зависят от дифференциальных линейных уравнений, полные интегралы которых представляются суммой частных интегралов. Таким образом, простые колебания накладываются одно на другое и образуют движение системы, как выражающие их частные интегралы складываются вместе, чтобы образовать полный интеграл. Таким способом в явлениях природы интересно прослеживать интеллектуальные истины анализа. Это соответствие, многочисленные примеры которого являет нам система мира, составляет одно из самых больших очарований математического мышления.

Естественно желание привести к одному основному принципу законы движения тел, подобно тому, как законы их равновесия были сведены в едином принципе возможных скоростей. Для этого рассмотрим движение системы тел, воздействующих друг на друга, но не подверженных действию ускоряющих сил. Их скорости изменяются в каждый момент. Но можно представить себе каждую из этих скоростей в некоторый момент составленной из скорости, действующей в следующий момент, и другой скорости, которая должна уничтожиться в начале этого второго момента. Если бы уничтоженная скорость была известна, было бы легко, но закону разложения сил, вывести скорость тел во второй момент; однако известно, что если бы тела двигались только под воздействием этих уничтоженных скоростей, они пришли бы во взаимное равновесие. Таким образом, законы равновесия дадут соотношения утраченных скоростей, и из этих соотношений будет легко вывести оставшиеся скорости и их направления. Так, с помощью анализа бесконечно малых можно получить последовательные изменения движения системы и её положение на любой момент.

Ясно, что если тела подвержены действию ускоряющих сил, всегда можно применить те же разложения скоростей. Но тогда должно иметь место равновесие между уничтоженными скоростями и именно этими силами.

Этот способ приведения законов движения к законам равновесия, которым мы обязаны главным образом Даламберу, является общим и очень ясным. Можно было бы удивляться, что он ускользнул от геометров, занимавшихся динамикой раньше Даламбера, если бы не было известно, что самые простые идеи почти всегда последними приходят человеческому уму.

Оставалось ещё объединить изложенный нами принцип с принципом возможных скоростей, чтобы придать механике всё то совершенство, на которое она способна. Это сделал Лагранж, и таким путём свёл исследование движения любой системы тел к интегрированию дифференциальных уравнений. Этим заканчивается задача механики, и завершить решение проблемы придётся чистому анализу. Вот самый простой способ составления дифференциальных уравнений движения некоторой системы тел.

Если вообразить три взаимно перпендикулярные неподвижные оси и в некоторый момент разложить скорости каждой материальной точки системы тел на три другие, параллельные этим осям, можно рассматривать каждую отдельную скорость как равномерную в этот момент. Затем, в конце момента, можно представить себе эту точку под воздействием трёх скоростей, параллельных одной из осей, а именно: её скорости в этот момент, небольшого изменения, которое скорость получает в следующий момент, и этого же изменения, приложенного в обратном направлении. Две первые из этих скоростей существуют в следующий момент. Третья должна быть уничтожена силами, увлекающими точку, и действием других точек системы. Таким образом, полагая, что мгновенные изменения частных скоростей каждой точки системы приложены к этим точкам в обратном направлении, мы получим систему, которая в силу этих изменений и действующих на неё сил должна находиться в равновесии. Уравнения этого равновесия получаются с помощью принципа возможных скоростей. Комбинируя их с уравнениями, связывающими части системы, получим дифференциальные уравнения движения каждой из её точек.

Ясно, что подобным же способом можно привести и законы движения жидкостей и газов к законам их равновесия. В этом случае условия, относящиеся к связи между частями системы, сводятся к тому, чтобы объём любой молекулы оставался неизменным, если жидкость несжимаема, и чтобы он зависел от давления по заданному закону, если жидкость упруга и сжимаема. Уравнения, выражающие эти условия и изменения движения жидкостей и газов, включают частные разности каждой из координат молекулы, взятые либо по отношению к времени, либо по отношению к первоначальным координатам. Интегрирование такого рода уравнений представляет большие трудности, и до сих пор оно удалось лишь в отдельных случаях, относящихся к движению весомой жидкости в сосудах, к теории звука и к колебаниям морей и атмосферы.