Изложение системы мира - Лаплас Пьер Симон - Страница 44

Рассмотрение дифференциальных уравнений движения системы тел привело к открытию нескольких весьма полезных принципов механики, являющихся развитием тех, которые были нами представлены при описании движения точки во II главе этой книги.

Материальная точка движется равномерно по прямой, если она не испытывает посторонних воздействий. В системе тел, действующих друг на друга, но не подверженных действию внешних сил, общий центр тяжести движется равномерно по прямой, и его движение таково, как если бы все тела были сосредоточены в этой точке и все силы, увлекающие их, непосредственно приложены к ней, так что направление и величины их равнодействующей остаются постоянно неизменными.

Мы видели, что радиус-вектор тела, подверженного действию силы, направленной к неподвижной точке, описывает площади, пропорциональные времени. Если предположить, что система тел, действующих друг на друга каким-либо способом, подвержена действию силы, направленной к неподвижной точке, и если из этой точки к каждому из тел провести радиус-вектор и спроектировать их на неизменную плоскость, проходящую через эту точку, сумма произведений массы каждого тела на площадь, описанную проекцией его радиуса-вектора, пропорциональна времени. В этом состоит принцип сохранения площадей.

Если нет неподвижной точки, притягивающей систему, или она подвержена только взаимному действию её частей, за начало радиусов-векторов можно взять любую точку.

Произведение массы тела на площадь, описанную проекцией его радиуса-вектора за единицу времени, равно проекции полной силы этого тела, умноженной на перпендикуляр, опущенный из неподвижной точки на направление спроектированной таким способом силы. Это последнее произведение представляет момент силы, вращающей систему вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекции и проходящей через неподвижную точку. Итак, принцип сохранения площадей сводится к тому, что сумма окончательных сил, вращающих систему вокруг какой-либо оси, проходящей через неподвижную точку, в состоянии равновесия равная нулю, постоянна в состоянии движения. Представленный таким способом этот принцип подходит для всех возможных законов, которые могли бы связывать силу и скорость.

Живой силой системы называют сумму произведений массы каждого тела на квадрат его скорости. Когда тело движется по кривой или по поверхности, не испытывая действия посторонних сил, его живая сила всё время остаётся постоянной, так как постоянна его скорость. Если тела системы не испытывают других взаимодействий, кроме их взаимного притяжения и давления либо непосредственно, либо посредством нерастяжимых и не упругих стержней и нитей, живая сила системы постоянна даже в том случае, если некоторые из её тел принуждены двигаться по кривым линиям и поверхностям. Этот принцип, названный принципом сохранения живых сил, распространяется на все возможные законы, связывающие силу и скорость, если под живой силой тела понимать удвоенный интеграл произведения его скорости на дифференциал приложенной к нему конечной силы.

При движении тела, побуждаемого какими-либо силами, изменение живой силы равно удвоенному произведению массы тела на сумму ускоряющих сил, умноженных, соответственно, на величины элементарных перемещений тела в направлении к началам этих сил. В движении системы тел удвоенная сумма всех этих произведений равна изменению живой силы системы.

Представим себе, что при движении системы все тела под влиянием приложенных к ним ускоряющих сил в одно и то же время приходят в положение равновесия. Изменение живой силы, по принципу возможных скоростей, будет равно нулю. Поэтому живая сила тогда будет максимальна или минимальна. Если бы система двигалась лишь посредством простых колебаний только одного вида, тела, выходя из положения равновесия, стремились бы к нему вернуться, если равновесие — устойчивое. Их скорости уменьшались бы по мере удаления от этого положения, и, следовательно, в этом положении живая сила имела бы максимум. Но если равновесие неустойчивое, тела, отдалившись от него, стремились бы удалиться ещё дальше, их скорости возрастали бы и живая сила была бы в этом случае минимальна. Отсюда можно заключить, что если живая сила постоянно максимальна, когда все тела системы приходят в состояние равновесия одновременно, то, какова бы ни была их скорость, равновесие устойчиво. И наоборот, как абсолютная, так и относительная устойчивость отсутствуют, если живая сила в этом положении минимальна.

Наконец, мы видели во II главе, что сумма интегралов произведений каждой конечной силы системы на элемент её направления, сумма, которая в состоянии равновесия равна нулю, в состоянии движения становится минимальной. В этом состоит принцип наименьшего действия, отличающийся от принципов равномерного движения центра тяжести, сохранения площадей и сохранения живых сил тем, что эти принципы суть истинные интегралы дифференциальных уравнений движения тел, тогда как принцип наименьшего действия — особое сочетание этих самых уравнений.

Так как конечная сила тела есть произведение его массы на скорость, а скорость, умноженная на путь, пройденный за элемент времени, равна произведению этого элемента на квадрат скорости, то принцип наименьшего действия может быть выражен следующим образом.

Интеграл живой силы, умноженный на элемент времени, минимален. Таким образом, истинная экономия природы сводится к экономии живой силы. Эту экономию нужно иметь в виду при конструировании машин, которые тем совершеннее, чем меньшую живую силу они затрачивают для производства определённого действия. Если тела не подчинены никакой ускоряющей силе, живая сила системы постоянна. Поэтому система переходит от одного положения к любому другому за кратчайшее время.

О применимости этих принципов надо сделать важное замечание. Принцип равномерного движения центра тяжести и принцип сохранения площадей остаются в силе даже в случае, если из-за взаимного действия тел возникают резкие изменения в их движениях, и это делает эти принципы очень полезными при многих обстоятельствах. Что же касается принципа сохранения живых сил и принципа наименьшего действия, то они предусматривают, чтобы изменения в движении системы происходили постепенно, неощутимыми переходами.

Если система подвергается резким изменениям под влиянием взаимного действия тел или при встрече с препятствиями, живая сила при каждом таком изменении претерпевает уменьшение, равное сумме произведений каждого тела на квадрат его утраченной скорости; если представить себе, что его скорость, существовавшая до этого времени, разложена на две, из которых одна — остаётся, а другая — уничтожается, то квадрат этой последней, очевидно, равен сумме квадратов отклонений, претерпеваемых в результате этого изменения скорости, разложенной параллельно трём каким-либо взаимно перпендикулярным осям.

Все эти принципы остаются в силе и при относительном движении тел системы, если она увлекается общим движением вместе с центрами сил, которые мы раньше предполагали неподвижными. Эти принципы сохраняются также при относительных движениях тел на Земле, так как невозможно, как мы уже видели, судить об абсолютном движении системы тел единственно только по видимым проявлениям её относительного движения.

Каковы бы ни были движения системы и изменения, испытываемые ею под влиянием взаимных действий отдельных её частей, сумма произведений массы каждого тела на площадь, описанную проекцией его радиуса-вектора вокруг общего центра тяжести на плоскости, проходящей через этот центр и всегда остающейся параллельной самой себе, постоянна. Плоскость, на которой эта сумма максимальна, сохраняет параллельное самой себе положение при движении системы. Эта же сумма равна нулю по отношению ко всем плоскостям, проходящим через центр тяжести перпендикулярно плоскости, о которой шла речь. Квадраты трёх таких сумм, относящиеся к трём взаимно перпендикулярным плоскостям, проходящим через центр тяжести, равны квадрату вышеупомянутой максимальной суммы. Плоскость, соответствующая этой сумме, имеет ещё то замечательное свойство, что сумма проекций площадей, описанных телами вокруг друг друга и умноженных, соответственно, на произведение масс каждых двух тел, соединённых радиусом-вектором, максимальна на этой плоскости и на всех других, параллельных ей. Поэтому во всякий момент можно найти плоскость, которая, проходя через какую-либо из точек системы, всегда сохраняет параллельное положение. Но поскольку две из произвольных постоянных этого движения исчезают, если движение тел отнести к этой плоскости, то естественно выбрать её в качестве плоскости координат и их начало поместить в центр тяжести системы.