Изложение системы мира - Лаплас Пьер Симон - Страница 42

Глава V О ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ ТЕЛ

Рассмотрим сначала действие двух материальных точек разной массы, которые, двигаясь по одной прямой, столкнулись между собой. Можно представить себе, что непосредственно перед соударением их движение разложено на одну общую скорость и две такие взаимно противоположные скорости, что, обладая только ими, эти точки уравновесились бы. Общая скорость двух точек не изменяется от их взаимодействия. Поэтому она сохранится и после столкновения. Для её определения заметим, что количество движения двух точек в силу этой общей скорости, вместе с суммой количеств движения, вызванных уничтоженными скоростями, представляет сумму количеств движения перед соударением, если только количества движения взять с разными знаками, т.е. с противоположными скоростями. Но, по условию равновесия, сумма количеств движения, вызванных уничтоженными скоростями, равна нулю. Поэтому количество движения, вызванное общей скоростью, равно количеству, которое существовало вначале у обеих точек. Следовательно, эта скорость равна сумме количеств движения, разделённой на сумму масс.

Случай соударения двух материальных точек — чисто идеальный. Но с ним легко сопоставить случай соударения каких-либо двух тел, отметив, что если тела соударяются, двигаясь по прямой, проходящей через их центры тяжести перпендикулярно к поверхности их контакта, они действуют друг на друга так, будто их массы были сосредоточены в этих центрах. Поэтому движение передаётся между ними так же, как между двумя материальными точками, массы которых, соответственно, равны массам рассматриваемых тел.

В предыдущем примере предполагается, что после соударения оба тела должны иметь общую скорость. Можно понять, что это справедливо для мягких тел, у которых передача движения происходит постепенно, незаметными изменениями, так как очевидно, что с того момента, когда ударенное тело приобретает скорость ударяющего тела, всякое взаимодействие между ними прекращается. Но между двумя абсолютно твёрдыми телами соударение происходит мгновенно, и не представляется обязательным, чтобы после него их скорости были одинаковы. Их взаимная непроницаемость требует только, чтобы скорость ударяющего тела была меньшей. В остальном она неопределенна. Эта неопределённость доказывает абсурдность гипотезы абсолютной твёрдости. В самом деле, в природе самые твёрдые тела, если и не упруги, то во всяком случае имеют некоторую неуловимую мягкость, которая делает их взаимные воздействия постепенными, хотя их продолжительность неощутима.

Когда тела абсолютно упруги, чтобы получить их скорость после соударения, нужно прибавить или вычесть из общей скорости, которую они получили бы, не будучи упругими, скорость, которую они приобрели бы или утратили в этом случае, так как совершённая упругость удваивает эти эффекты при упругой отдаче после вызванного ударом сжатия. Таким образом, скорость каждого тела после удара получают вычитанием его скорости перед ударом из удвоенной общей скорости.

Отсюда легко заключить, что сумма произведений масс на квадраты их скоростей остаётся одинаковой до и после соударения двух тел. Это же имеет место и при соударениях любого числа идеально упругих тел, при любом способе взаимодействия между ними.

Таковы законы передачи движения, подтверждаемые опытом и математически вытекающие из двух фундаментальных законов движения, которые мы изложили во второй главе этой книги. Многие философы пробовали их вывести, рассматривая конечные причины. Декарт, убеждённый, что количество движения без учёта его направления должно всегда оставаться неизменным во вселенной, вывел из этой ложной гипотезы ложные законы передачи движения. Они являются поучительным примером ошибок, которым подвергаются те, кто ищет разгадки законов природы по её вымышленным свойствам.

Когда тело получает импульс в направлении, проходящем через его центр тяжести, все его части двигаются с одинаковой скоростью. Если же это направление проходит в стороне от этого центра, разные части тела получают неодинаковые скорости, и из-за этого неравенства возникает вращение тела вокруг его центра тяжести, в то время как сам этот центр уносится со скоростью, которую он бы принял, если бы направление импульса проходило через центр тяжести. Именно это мы имеем в случае Земли и других планет. Итак, чтобы объяснить двойное — вращательное и поступательное — движение Земли, достаточно предположить, что она вначале получила импульс, направление которого прошло на небольшом расстоянии от её центра тяжести, расстоянии, которое при предположении, что эта планета однородна, равно приблизительно ¹/₁₆₀ части её радиуса. Бесконечно мало вероятно, чтобы все силы, сообщившие первоначальное движение планетам, их спутникам и кометам, точно прошли бы через их центры тяжести. Поэтому все эти тела должны вращаться вокруг самих себя. По подобной же причине Солнце, тоже имеющее вращательное движение, должно было получить импульс, который, не пройдя через его центр тяжести, уносит его в пространство вместе с планетной системой, если только импульс обратного направления не уничтожит это движение, что кажется невероятным.

Импульс, сообщённый однородной сфере в направлении, не проходящем через её центр, заставляет её непрерывно вращаться вокруг диаметра, перпендикулярного плоскости, проходящей через её центр и через направление приложенной силы. Новые силы, увлекающие все её точки, равнодействующая которых проходит через её центр, не изменяют параллельность её оси вращения. Поэтому ось вращения Земли остаётся всегда почти точно параллельной самой себе при обращении вокруг Солнца; при этом не возникает необходимости предполагать, подобно Копернику, существование годичного движения полюсов Земли вокруг полюсов эклиптики.

Если тело имеет произвольную форму, его ось вращения может непрерывно изменяться. Исследование этих изменений при любых силах, действующих на тело, является наиболее интересной проблемой механики твёрдых тел вследствие её связи с предварением равноденствий и с либрацией Луны.¹⁰ Разрешая эту проблему, пришли к любопытному и очень полезному результату, а именно, в каждом теле существуют три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через его центр тяжести, вокруг которых тело может равномерно и непрерывно вращаться, если оно не подвержено действию внешних сил. Поэтому эти оси названы главными осями вращения. Они обладают тем свойством, что сумма произведений силы каждой молекулы тела на квадрат её расстояния до оси максимальна по отношению к двум из этих осей и минимальна относительно третьей.²⁹ Если представить себе тело вращающимся вокруг оси, слегка наклонённой по отношению к одной из двух первых осей, мгновенная ось вращения тела отклонится от них на очень малую величину. Поэтому вращение будет устойчивым по отношению к этим двум первым осям и не будет устойчивым относительно третьей; малые отклонения от них мгновенной оси вращения вызовут большие колебания тела вокруг третьей оси.

Весомое тело или система тел любой формы, колеблясь относительно неподвижной горизонтальной оси, образуют сложный маятник. В природе нет других маятников. Простые маятники, о которых мы раньше говорили, представляют лишь чисто геометрические абстракции, служащие для упрощения предмета. Легко привести сложные маятники к простому, если у сложного маятника все части неподвижно связаны между собой. Если умножить длину простого маятника, продолжительность колебания которого равна продолжительности колебания сложного маятника, на массу последнего и на расстояние от его центра тяжести до оси качания, произведение будет равно сумме произведений [массы] каждой молекулы сложного маятника на квадрат её расстояния до той же оси. По этому правилу, найденному Гюйгенсом, опыты со сложными маятниками позволили узнать длину простого маятника, отбивающего секунды.

Представим себе маятник, делающий очень малые колебания в одной и той же плоскости, и предположим, что в тот момент, когда он максимально отклонился от вертикали, к нему приложили небольшую силу, перпендикулярную плоскости его качания. Он опишет эллипс вокруг вертикали. Чтобы представить себе его движение, можно вообразить фиктивный маятник, продолжающий свои колебания как и реальный маятник, но без приложенной к нему новой силы, тогда как реальный маятник качается, под воздействием этой силы по обе стороны идеального маятника, как если бы этот фиктивный маятник был неподвижен и вертикален. Таким образом, движение реального маятника является результатом двух простых колебаний, происходящих одновременно и перпендикулярно друг другу.