Изложение системы мира - Лаплас Пьер Симон - Страница 40

Рассмотрение рычага породило идею моментов. Моментом силы, заставляющей систему вращаться вокруг точки, называют произведение этой силы на расстояние от точки до направления действующей силы. Таким образом, в случае равновесия рычага, к концам которого приложены две силы, моменты этих сил по отношению к точке опоры должны быть равны и противоположны, или, что сводится к тому же, сумма моментов относительно этой точки должна быть равна нулю.

Проекция силы на проходящую через неподвижную точку плоскость, умноженная на расстояние точки от этой проекции, называется моментом силы, вращающей систему вокруг оси, проходящей через неподвижную точку перпендикулярно этой плоскости.

Момент равнодействующей любого числа сил по отношению к точке или какой-либо оси равен сумме таких же моментов составляющих сил.

Так как можно предположить, что параллельные силы соединяются в бесконечности, их можно свести к равнодействующей силе, равной их сумме и параллельной им. Поэтому, разлагая каждую силу, действующую на систему тел, на две — одну, лежащую в плоскости, и другую, перпендикулярную к этой плоскости, — можно все силы, лежащие в этой плоскости, свести к одной равнодействующей, так же как и перпендикулярные ей силы — к другой равнодействующей. Всегда существует плоскость, проходящая через неподвижную точку, и притом такая, что равнодействующая сил, перпендикулярных этой плоскости, равна нулю или проходит через эту точку. В обоих этих случаях момент равнодействующей равен нулю по отношению к осям, начало которых лежит в этой точке, и момент сил системы относительно этих осей сводится к моменту равнодействующей, расположенной в плоскости, о которой идёт речь. Ось, относительно которой этот момент максимален, перпендикулярна этой плоскости, и момент сил системы относительно оси, проходящей через неподвижную точку и составляющей некоторый угол с осью наибольшего момента, равен наибольшему моменту системы, умноженному на косинус этого угла, так что этот момент равен нулю для всех осей, расположенных в плоскости, перпендикулярной оси наибольшего момента.

Сумма квадратов косинусов углов, образованных осью наибольшего момента с тремя любыми взаимно перпендикулярными осями, проходящими через неподвижную точку, равна единице. Поэтому квадраты трёх сумм моментов сил относительно этих осей равны квадрату наибольшего момента.

Для равновесия системы жёстко связанных между собой тел, могущей двигаться вокруг неподвижной точки, сумма моментов сил по отношению к любой оси, проходящей через эту точку, должна равняться нулю. Из предыдущего следует, что это имеет место, если эта сумма равна нулю по отношению к трём неподвижным взаимно перпендикулярным осям. Если в системе нет неподвижной точки, то для равновесия, кроме того, необходимо, чтобы три суммы сил, разложенные параллельно этим осям, каждая в отдельности, были равны нулю.

Рассмотрим систему весомых точек, жёстко связанных между собой и отнесённых к трём взаимно перпендикулярным плоскостям, связанным с системой. Разлагая действие силы тяжести параллельно пересечениям этих плоскостей, можно все силы, параллельные одной и той же плоскости, свести к единой равнодействующей, параллельной этой плоскости и равной их сумме. Три полученные равнодействующие, соответствующие трём плоскостям, должны встретиться в одной точке, так как воздействия силы тяжести на разные точки системы параллельны и имеют единую равнодействующую, которую можно получить, складывая сперва две силы, затем их равнодействующую с третьей, равнодействующую трёх сил с четвёртой и т.д. Положение точки встречи по отношению к системе не зависит от наклона плоскостей к направлению силы тяжести, так как больший или меньший наклон меняет лишь значения трёх равнодействующих, не изменяя их положения относительно плоскостей. Если эта точка неподвижна, все действия силы тяжести в системе уничтожатся во всех возможных её положениях, которые она может принять, вращаясь вокруг этой точки, названной поэтому центром тяжести системы.

Представим себе, что положение этого центра и положения разных точек системы определены координатами, параллельными трём взаимно перпендикулярным осям. Так как действия сил тяжести равны и параллельны и их равнодействующая проходит через центр тяжести системы при любых её положениях, то если предположить, что эта равнодействующая последовательно параллельна каждой из трёх осей, равенство момента равнодействующей сумме моментов составляющих приводит к тому, что любая из координат этого центра, умноженная на полную массу системы, равна сумме произведений массы каждой точки на соответствующую ей координату. Таким образом, определение центра тяжести не зависит от самой тяжести, породившей мысль о нем. Рассмотрение этого центра применительно к системам весомых или невесомых тел, свободных или связанных между собой каким-либо образом, очень полезно в механике.

Обобщая теорему о равновесии точки, рассмотренную в конце первой главы, мы приходим к следующей теореме, которая заключает в наиболее общем виде условия равновесия системы материальных точек, движимых какими-либо силами.

Если изменить положение системы на бесконечно малую величину, так, чтобы не нарушились связи между её частями, каждая материальная точка подвинется в направлении увлекающей её силы на величину, равную части этого направления, заключённой между первым положением точки и перпендикуляром, опущенным из её второго положения на это направление. Установив это, получим:

в состоянии равновесия сумма произведений каждой силы на величину перемещения в её направлении каждой точки, к которой она приложена, равна нулю. И обратно: если эта сумма равна нулю, каково бы ни было изменение системы, она находится в равновесии.

В этом заключается принцип возможных скоростей, открытый Жаном Бернулли. Но чтобы его использовать, надо произведения, о которых шла речь, относящиеся к точкам, которые при изменении положения системы перемещаются в направлении, противоположном действию приложенных к ним сил, взять с обратным знаком. К тому же надо помнить, что сила есть произведение массы материальной точки на скорость, которую она бы приобрела под действием этой силы, если бы была свободной.

Если положение каждой точки системы определять тремя прямоугольными координатами, сумма произведений каждой силы, действующей на точку, на величину её перемещения при бесконечно малом перемещении всей системы выражается линейной функцией изменения координат точек системы. Эти изменения находятся между собой в отношениях, вытекающих из связи частей системы. Сводя с помощью этих отношений произвольные изменения к наивозможно меньшему числу, в предыдущей сумме, которая при равновесии системы должна равняться нулю, чтобы равновесие имело место при любом положении системы, нужно отдельно приравнять нулю коэффициент каждого из оставшихся изменений, что даст столько уравнений, сколько имеется таких произвольных изменений. Эти уравнения вместе с уравнениями, которые даются связью всех частей системы, будут включать все условия равновесия системы.

Существует два очень различных состояния равновесия. При одном из них, если немного нарушить равновесие, все тела системы совершают лишь небольшие колебания вокруг их начального положения. Такое равновесие называют устойчивым равновесием. Эта устойчивость абсолютна, если она имеет место при любых колебаниях системы, и относительна, если сохраняется только при колебаниях определённого рода. В другом состоянии равновесия тела, если их отклонили, удаляются всё больше и больше от своего первоначального положения. Можно ясно представить себе эти два состояния равновесия, рассматривая эллипс, поставленный вертикально на плоскость. Если эллипс, находящийся в равновесии на своей малой оси, отклонить немного от этого положения, он стремится вернуться в исходное положение, делая колебания, которые вскоре погасятся трением и сопротивлением воздуха. Но если эллипс находится в равновесии на большой оси, то, однажды отклонившись от этого положения, он стремится отклониться всё больше и в конце концов опрокидывается на свою малую ось. Таким образом, устойчивость равновесия зависит от свойства малых колебаний, которые делает система вокруг положения равновесия, будучи каким-либо способом из него выведена. Чтобы определить в общем виде, каким образом устойчивые и неустойчивые состояния равновесия следуют одно за другим, рассмотрим замкнутую кривую, поставленную вертикально в положение устойчивого равновесия. Выведенная немного из этого положения, она стремится к нему вернуться. Это стремление изменяется по мере увеличения отклонения, и когда это стремление делается равным нулю, кривая оказывается в новом, но уже неустойчивом состоянии равновесия, потому что прежде чем прийти к этому положению, она стремилась вернуться к своему первоначальному положению. После этого второго положения стремление к первому положению и, следовательно, ко второму делается отрицательным до тех пор, пока оно снова не станет пулевым, и тогда кривая снова оказывается в устойчивом равновесии. Продолжая таким образом, мы видим, что состояния устойчивого и неустойчивого равновесия сменяются поочерёдно, подобно максимумам и минимумам ординат кривых. То же рассуждение легко распространить на различные состояния равновесия системы тел.