Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика - Арбонес Хавьер - Страница 19

«Пусть в огороженном месте имеется пара кроликов (самка и самец) в первый день января. Эта пара кроликов производит новую пару кроликов в первый день февраля и затем в первый день каждого следующего месяца. Каждая новорожденная пара кроликов становится зрелой уже через месяц и затем каждый месяц дает жизнь новой паре кроликов. Возникает вопрос: сколько пар кроликов будет в огороженном месте через год, то есть через 12 месяцев с начала размножения?»

Ответ на эту интересную задачу таков:

— В первые два месяца имеется всего одна пара кроликов, А.

— В третьем месяце родится В, первая пара — потомок А.

— В четвертом месяцев родится С, вторая пара — потомок А.

— В пятом месяце родится D, третья пара — потомок А, и Е, первая пара — потомок В.

Численность кроликов в последующие месяцы будет описываться последовательностью 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… Эта последовательность чисел известна как числа Фибоначчи. Если мы поделим каждый член этой последовательности на предыдущий, получим:

На схеме показан рост численности кроликов. Белыми точками обозначены пары молодых кроликов, черными — взрослых кроликов, способных давать потомство.

Отношения членов ряда Фибоначчи стремятся к числу 1,618033989…, известному как золотое сечение, или божественная пропорция. Числа Фибоначчи часто встречаются в природе: например, ими описывается число семечек в спиралях подсолнуха, расположение ветвей растений, спирали раковин моллюсков и так далее.

Отрезки пятиконечной звезды — пентаграммы, которая используется во многих культурах, также скрывают в себе золотое сечение. Справа — схема расположения семян подсолнечника. Число спиралей в обе стороны выражается числами Фибоначчи.

Золотое сечение используется и в музыке. Некоторые произведения Моцарта и Бетховена разделены своей высшей точкой, моментом максимального напряжения на части, длительность которых подчиняется золотому сечению. Наиболее вероятно, что и Моцарт, и Бетховен получили этот результат интуитивно, стремясь придать своей музыке равновесие. В творчестве композитора Белы Бартока числа Фибоначчи встречаются столь часто, что это нельзя объяснить случайным совпадением. Так, в первой фуге его произведения «Музыка для струнных, ударных и челесты» 89 тактов, исполняемых ударными и челестой, делятся на части длиной в 55 и 34 такта. Разделение этих частей на более мелкие также описывается числами Фибоначчи: первая часть делится на 34 и 21 такт, вторая — на 13 и 21. Третья часть этого же произведения, исполняемая в темпе адажио, начинается с ритмической последовательности, в которой на ксилофоне исполняется одна и та же нота фа 1, 1, 2, 3, 5, 8, 5, 3, 2, 1 и 1 раз. Струнный квартет № 4 его же авторства состоит из 2584 долей — это 18-е число Фибоначчи.

Числа Фибоначчи также описывают модели интервалов, использованные Бартоком, среди которых встречаются интервалы из 2, 3, 5, 8 и 13 полутонов.

Некоторые композиции Дебюсси также подчиняются правилу золотого сечения или описываются числами Фибоначчи. Начало «Диалога ветра с морем» в его произведении «Море» состоит из 55 тактов, которые делятся на группы по 21, 8, 8, 5 и 13 тактов. «Золотой» такт номер 34 отмечен нотой, исполняемой на трубе.

Хотя подобный анализ может действительно иметь отношение к реальности, к нему стоить подходить умеренно. Нередко слушатель, который заранее знает, что в произведении используется золотое сечение, начинает «слышать», что произведение звучит по-особому.

* * *

* * *

Мы предлагаем читателю подробнее познакомиться с различными параметрами звуков и глубже изучить их природу. Если мы хотим рассматривать звук не как художественное, а как физическое явление, то нам потребуются математические инструменты. Мы совершим путешествие в микромир и изучим потоки электронов в электрических цепях, чтобы понять, как передается звуковая информация.

Физика звука

Благодаря особенностям нашего слуха мы можем различать высоту звуков, которая связана с частотой колебаний. Звук является результатом колебаний некоторого твердого тела, будь то металл, дерево, кожа. Звук также может образовываться в результате колебаний воздуха, воды или голосовых связок. Эти колебания распространяются от источника к ближайшим частицам.

Вне зависимости от источника звука волна в конечном итоге распространяется по воздуху и достигает наших ушей. Распространение волны вызвано чередованием областей сжатия и разрежения воздуха. Именно эти чередования наши уши воспринимают как звук. Если области сжатия и разрежения чередуются равномерно, то звуковые колебания называются гармоническими. Скорость, с которой чередуются области сжатия и разрежения, называется частотой. Частота равняется числу колебаний в секунду и измеряется в герцах. Чем больше частота колебаний, тем выше звук.

При распространении звуковых колебаний среда изначально находится в состоянии покоя, затем постепенно достигается максимальная амплитуда колебаний (А), после чего среда снова стремится к состоянию покоя, из которого снова набирает максимальную амплитуду (—А). При возвращении в состояние покоя завершается полный цикл (λ). В этой точке угол наклона касательной к кривой равен углу ее наклона в начальной точке. С точки зрения математики звуковые колебания описываются синусоидальной функцией: