Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики - Коллектив авторов - Страница 29

В математике время исследования оснований уже пришло. С 1900 года убежденный в надежности аксиоматического метода, который так хорошо себя показал в геометрии, Гильберт навязывал аксиоматический подход остальным математическим дисциплинам, в частности теории множеств, а также сделал первые шаги для основания математической теории доказательства. Пока платонизм и логицизм утверждали, что точностью математики ведает царствие небесное, а интуиционизм приписывал это человеческому разуму, формализм Гильберта связывал ее с исписанным листом бумаги. Математику можно рассматривать как игру знаков, лишенных значения, как цепь символов на бумаге, свободных от смысла, но подчиняющихся некоторым правилам, чтобы с ними можно было работать. Формалистская позиция, которую развили Гильберт и его соратники (Бернайс и Аккерман), предлагала решение, основанное на двух моментах: во-первых, на общей аксиоматизации математики и логики, а во-вторых, на доказательстве непротиворечивости этой формальной системы. Доказательство, что внутри системы нельзя вывести никакого противоречия, было краеугольным камнем формалистского здания.

Однако сперва требовалось дать отпор набравшему силу интуиционизму европейских математиков. После Первой мировой войны критика классической математики, сформулированная Брауэром и Вейлем, усилилась и побудила Гильберта попытаться искоренить все скептические сомнения. Гильберт осознавал, что позиция Брауэра и Вейля не лишена обоснования и нужно действовать осторожно, чтобы не спровоцировать парадоксы теории множеств. Но он не был готов отказаться ни от теории Кантора (не зря первой проблемой в списке 1900 года была его континуум-гипотеза), ни от достижений классической математики (включая достижения, полученные с использованием самой многострадальной аксиомы, аксиомы выбора). Значительная часть его успеха как математика обязана доказательствам существования, как раз против таких доказательств Брауэр (как до него Кронекер и Гордан) и выступал.

Пытаясь пресечь его влияние, Гильберт задался вопросом, что можно сделать, чтобы не отказываться от принципа исключенного третьего. По его мнению, отнять этот принцип у математика было равносильно тому, чтобы запретить астроному использовать телескоп или боксеру пускать в ход кулаки. Профессор из Гёттингена был удивлен и разочарован тем, что целый круг математиков, не церемонясь, заняли сторону противника, и это серьезно сказалось на математике. Континуум или трансфинитные числа Кантора оказались в положении обреченных математических объектов. А теорема, доказывающая существование бесконечного количества простых чисел, в свою очередь, была ярким примером запрещенного образа мысли. Действительно, принятие идеи, что любая значимая пропозиция либо истинна, либо ложна, является основополагающим для метода косвенного доказательства. Евклид доказал существование бесконечного количества простых чисел, продемонстрировав, что противоположный тезис является ложным, то есть воспользовавшись принципом исключенного третьего. Поскольку его доказательство не было конструктивным и не позволяло определить и-ное простое число, оно не годилось для интуиционистов.

По сравнению с классической интуиционистская математика предполагала жалкий остаток, ряд изолированных и бессвязных результатов. Постоянный страх Гильберта был вызван тем, что интуиционизму удастся расчленить математику и при этом будут утрачены ценные достижения. Он был насколько удручен этим положением вещей, что, борясь с интуиционизмом, даже переходил на личности и оперировал не совсем академическими аргументами:

«Программа Брауэра — это не революция, а банальное повторение старых методов [отсылка к Кронекеру] бесплодного поиска, который, даже если применить его с удвоенной силой, полностью проваливается. Сегодня мы вооружены благодаря работам Фреге, Дедекинда и Кантора. Попытки Брауэра и Вейля заранее обречены на поражение».

В конце десятилетия, когда борьба между двумя группами достигла апогея, Гильберт почувствовал, что силы на исходе и злокачественная анемия убивает его. И тогда он испугался, что после его смерти Брауэр обретет могущество и склонит к интуиционизму журнал Mathematische Annalen, который Гильберт возглавлял. В итоге в 1928 году он совершил немного грязный маневр и исключил Брауэра из редколлегии. Несмотря на возражения Эйнштейна, большинство ученых прислушались к воле Гильберта, и Брауэру пришлось уйти. Это столкновение надломило нидерландского математика, и он более чем когда-либо ударился в солипсизм. Гильберт назвал этот эпизод «войной мышей и лягушек». Гильберт выиграл битву, но не войну.

ГЛАВА 5

Крах программы Гильберта

Гильберт мечтал поместить математику на аксиоматический фундамент. К сожалению, теоремы Гёделя не позволили его мечтам стать явью. В математике, задуманной как формальная система, всегда останется место гипотезе, истинность или ложность которой нельзя доказать. Еще хуже — никогда нельзя будет доказать, что она лишена противоречий. Когда возведение здания математики уже завершалось, его фундамент вновь разрушился.

К концу 1920-х годов ангел формализма и демон интуиционизма все еще боролись за душу каждого математика. Но, к удовольствию Гильберта, формализм мчался на всех парусах. Казалось, «программа Гильберта» вот-вот свершится. Никто, даже самые реакционно и революционно настроенные математики, не могли изгнать формалистов из фантасмагорического собора, выстроенного из бесконечностей Кантора. Никто не мог заставить их перестать слушать симфонию бесконечности — классического анализа.

После 1900 года, когда Гильберт прочитал ту знаменитую лекцию в Париже, на III Международном конгрессе математиков 1904 года, проведенном в Гейдельберге, он представил свою точку зрения на кризис оснований, но в течение следующих 15 лет больше не возвращался к этой теме — анализ и физика полностью захватили его. Движимый желанием дать отпор интуиционистам, он снова обратился к теме основ математики сначала в 1917 году, а затем постоянно возвращался к ней с 1922 года. Для Гильберта и формалистской школы объекты математической мысли — это символы сами по себе, и фундаментальная проблема — это проблема устойчивости или непротиворечивости математики. Чтобы окончательно обосновать математику, он не нуждался ни в Боге, как Кронекер, ни в предположении об особенностях нашего восприятия в соответствии с принципом индукции, как Пуанкаре, ни в оригинальной интуиции, как Брауэр, ни даже в аксиоме о бесконечности или аксиоме о редуктивности, как Рассел и Уайтхед. Как таковая проблема оснований математики должна была окончательно устраниться после проверки на непротиворечивость аксиоматической системы математики.

СИЛЬНЫЕ СТОРОНЫ ПРОГРАММЫ

Несложно проследить происхождение идей Гильберта. В 1900 году он опубликовал лекцию «Понятие числа», прочитанную годом ранее на ежегодной ассамблее Немецкого математического общества. После книги об основаниях геометрии эта работа стала его второй публикацией, касающейся аксиоматического метода. В ней он рассматривал два возможных подхода к математическим понятиям — генетический и аксиоматический. Классический пример применения генетического метода характерен для арифметики. Натуральные числа появляются на основе базовой интуиции счета: если требуется произвести вычитание любых натуральных чисел, система расширяется, чтобы включить в себя целые числа. Необходимость разделить два любых целых числа приводит к введению рациональных чисел, а чтобы иметь возможность извлекать корни, добавляются иррациональные числа и дается определение действительным числам. Гильберт отмечал, есть аксиоматический метод, типичный для геометрии (и для анализа, поскольку Гильберт показал, как аксиоматизировать действительные числа). Несмотря на высокую дидактическую ценность генетического метода, аксиоматический метод имеет преимущество обеспечения полной логической надежности. В этой ранней работе Гильберт открыто и впервые заявил о необходимости подхода к проблеме абсолютной непротиворечивости арифметики как к унаследованной от геометрии (относительную непротиворечивость которой он сам доказал). Этот вопрос занял второе место (ему предшествует только континуумгипотеза) в списке из 23 открытых проблем 1900 года; Гильберт вернулся к нему на конгрессе 1904 года, хотя и недооценил его сложность. Задача заключалась не в том, чтобы найти самые базовые модели, на которые можно было бы опереться, чтобы вывести непротиворечивость арифметики, как это было сделано с аксиомами геометрии (при этом была бы доказана только относительная непротиворечивость). Следовало разработать доказательство абсолютной непротиворечивости, основываясь на синтаксисе, а не на семантике, то есть выяснив, позволяет формальная система, выражающая арифметику, прийти к противоречиям или нет.