Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики - Коллектив авторов - Страница 25

РОЖДЕНИЕ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Логики шли на невероятные хитрости, чтобы решить проблему парадоксов. Но какое решение давали математики? Если логики хотели логифицироватъ математику, то математики хотели омножествитъ ее. Омножествление математики началось издалека. Абстрактная теория множеств была создана Кантором, но связанный с множеством подход в математике предшествовал ей. Он присутствовал у Римана и в основном у Дедекинда. Риман предложил понятие многообразия в значении, граничащем со значением множества, в качестве основания всей чистой математики. И Дедекинд выдвинул подход множеств к алгебре, введя такие понятия, как группа, тело и идеал (только понятие кольца не поддалось ему и было введено позже Гильбертом).

Героическая эпоха теории множеств начинается в 1872 году. Тогда, опубликовав свои построения действительных чисел, Дедекинд и Кантор приступили к бурному личному взаимодействию. В 1874 году Кантор доказал, что существует два типа бесконечности: счетная (как множество натуральных чисел) и несчетная (как действительные числа, то есть как континуум). Он заявил, что множество алгебраических чисел счетное, и доказал это на основе метода, который Дедекинд передал ему в письме, хотя и не признал здесь заслуги последнего (этот конфликт, скорее всего, и стал причиной их разрыва). В 1879 году Кантор представил понятие кардинального числа множества, которое обобщает понятие числа элементов множества в области бесконечных множеств. Проверка того, обладают ли два конечных множества одним и тем же числом элементов, состоит в одновременном удалении по одному элементу из каждого из них столько раз, сколько возможно. Если оба множества заканчиваются одновременно, мы точно знаем, что у них одно и то же число элементов, или кардинальное число. Так как эта идея не предполагает счета, она распространяется на бесконечные множества: о множествах A и В говорят, что они имеют одно и то же кардинальное число, и это записывается как |A| = |B| если между ними можно установить биекцию, то есть соответствие один к одному.

ДИАГОНАЛЬНЫЙ АРГУМЕНТ КАНТОРА

Одним из великих открытий Георга Кантора стали несчетные множества, для которых невозможно провести биекцию с натуральными числами.

Одно из них — это континуум. И если целые и рациональные числа счетные, то действительные числа такими не являются. Нельзя связать их попарно с натуральными числами, их нельзя пронумеровать, поставить в список одно за другим. Возьмем числовую прямую и рассмотрим отрезок от 0 до 1. Выразим все входящие в этот отрезок числа в двоичном коде, то есть с помощью последовательностей 0 и 1. Например: 101001000... (опустив 0 и запятую, отделяющую десятичную дробь, которые должны предшествовать выражению). Докажем, что предположение о том, что это счетное множество, приводит к противоречию. Действительно, если бы это было так, мы могли бы записать все его элементы в списке, подобном следующему:

1.° → 0100...

2.° → 0110...

3.° → 1101...

...       ...

Теперь обратим внимание на элементы главной диагонали, они подчеркнуты. Построим элемент, который несмотря на то, что является последовательностью 0 и 1, не входит в список. Для этого образуем последовательность, состоящую из следующих чисел: так как первый выделенный член был 0, запишем 1; так как второй был 1, запишем 0; так как третий был 0, запишем 1; и так далее. Итоговый элемент начинается с 101... и не совпадает ни с одним из элементов в списке. Это не может быть первая последовательность, поскольку первый член отличается, не вторая, потому что мы изменили второй член, и не третья, и так далее. Это противоречит предположению, что речь идет о счетном множестве, которое, следовательно, может быть выражено в виде списка. Использованный метод доказательства получил название диагонализации и повлиял на последующие значимые доказательства в истории оснований математики.

Георг Кантор.

Между тем Дедекинд дал более удачное определение бесконечному множеству, чем Кантор. По прошествии времени оба определения, избавленные от ошибок, оказались равносильными (в соответствии с аксиомой выбора, о которой речь пойдет позже). Для Кантора множество бесконечно, если оно не конечно, то есть если нельзя провести биекцию с каким- нибудь натуральным числом. Для Дедекинда, наоборот, под влиянием предположений Галилея и Больцано, множество бесконечно только тогда, когда можно провести биекцию с его собственной частью. Например, натуральные числа бесконечны, потому что можно провести биекцию с четными числами, при этом 0 соответствует 0; 1 - 2; 2 - 4; и в целом каждому числу n — вдвое большее число 2n.

Его теория представляется мне наиболее заслуживающим удивления цветком математического духа и вообще одним из высших достижений чисто умственной деятельности человека. [...] Никто не изгонит нас из рая, который создал нам Кантор.

Давид Гильберт о Георге Канторе, «О бесконечном» (1925)

К концу 1882 года Кантор разработал свою арифметику кардинальных и порядковых (трансфинитных) чисел, а также выдвинул континуум-гипотезу. Натуральные числа образуют бесконечное множество наименьшего размера, который мы можем вообразить. Следовательно, его кардинальное число, то есть первое бесконечное кардинальное число, обозначается буквой алеф еврейского алфавита с нижним индексом 0: ϰ₀. Это кардинальное число соответствует всем счетным множествам, и это первая веха на пути к бесконечности. Кардинальное число континуума, действительных чисел, равно (по ряду сложных причин) 2^ϰ₀. При таких условиях континуум-гипотеза устанавливает, что нет никакой другой бесконечности между натуральными и действительными числами, или, говоря другими словами, что 2^ϰ₀ =ϰ₁ Последовательность кардинальных чисел ϰ₀, ϰ₁, ϰ₂,... работает как своего рода модель для измерения размера вселенной множеств, где существует бесконечное число бесконечностей. Безрезультатные попытки доказать континуум-гипотезу и постоянные нападки Кронекера на теорию трансфинитных множеств спровоцировали у Кантора депрессию, которая отдалила его от математики и подтолкнула в сторону теологии (он также увлекался идеей, что Бэкон был истинным автором произведений Шекспира).

С 1900 года теория Кантора, как и логика, стала мостом над бурными водами. Параллельно с логическими парадоксами возникли антиномии теории множеств. Большинство парадоксов, в которых говорилось о классах, были переформулированы с помощью теории множеств (например, парадокс Рассела). Но появились и новые: парадоксы бесконечности. В то время как логические парадоксы были связаны с цикличностью определения некоторых классов, парадоксы множеств отсылали к бесконечности. Главный в их числе — парадокс Кантора о собрании всех множеств. Пусть V — «множество» всех множеств. Поскольку, как доказал Кантор, кардинальное число любого множества меньше кардинального числа его показательного множества (которое обозначается ϑ(A) и включает в себя все подмножества или части A), получается, что |V| < |ϑ(V)|. С другой стороны, из определения V следует, что показательное множество V должно содержаться в V, поскольку V — это абсолютное множество, самое большое, которое включает в себя все остальные, и нет ничего выше него. Поэтому |V| ≥ |ϑ(V)|, что является абсурдом, противоречием по отношению к предыдущему результату.

Эрнст Цермело (1871-1953) был первым математиком, который различил нелогистический выход из лабиринта (не зря он открыл парадокс, подобный парадоксу Рассела): следовало перейти от интуитивной к аксиоматической теории множеств. С 1897 года Цермело находился в Геттингене и выполнял инструкции Гильберта, который воодушевил его сформулировать систему аксиом для теории Кантора. Его вклад в аксиоматический метод теории множеств сравним с вкладом Гильберта в геометрию. В 1908 году Цермело представил первую аксиоматизацию теории множеств, отшлифованную Абрахамом Френкелем (1891-1965) в 1922 году (и фон Нейманом в 1925 году, когда тот включил в нее аксиому регулярности, или основания).