Изложение системы мира - Лаплас Пьер Симон - Страница 38

Хотя закон действия силы известен, определение кривой, которую она заставляет описывать, всё же представляет большие трудности. Но каковы бы ни были силы, приводящие в движение тело, предполагаемое свободным, легко следующим образом написать дифференциальные уравнения его движения. Вообразим три неподвижные и взаимно перпендикулярные оси, относительно которых для некоторого момента определены три координаты рассматриваемого тела. Разлагая каждую из действующих на него сил на три других, параллельных этим же осям, и умножив равнодействующую всех сил, параллельных одной из координатных осей, на элемент времени её действия, получим приращение скорости тела, параллельное этой координате. Эта скорость может быть приравнена к элементу координаты, разделённому на элемент времени, так что дифференциал частного от этого деления равен предыдущему произведению. Рассмотрение двух других координат даёт ещё два подобных равенства. Таким образом, определение движения тела становится задачей чистого анализа, который сводится к интегрированию этих дифференциальных уравнений.

Вообще, если положить, что элемент времени постоянен, вторая разность каждой координаты, разделённая на квадрат этого элемента, представит силу, которая, будучи приложена к точке в обратном направлении, уравновесила бы силу, действующую по этой координате. Если умножить разность этих сил на произвольное изменение координаты и сложить три подобных произведения, относящихся к трём координатам, то, по условию равновесия, их сумма будет равна нулю. Если тело свободно, изменения всех трёх координат будут произвольными, и, приравняв коэффициенты при каждой из них нулю, получим три дифференциальных уравнения движения точки. Но если точка не свободна, между тремя координатами возникают одна или две зависимости, которые дадут такое же число уравнений, связывающих произвольные изменения координат. Поэтому, исключив с их помощью столько же этих изменений, мы приравняем нулю коэффициенты остающихся изменений и получим дифференциальные уравнения движения, которые в сочетании с соотношениями координат определят положение точки для любого момента.

Интегрирование этих уравнений нетрудно, если сила направлена к неподвижному центру. Но часто природа сил делает это интегрирование невозможным. Однако рассмотрение дифференциальных уравнений приводит к некоторым, интересным принципам механики. Например, дифференциал квадрата скорости точки, подвергнутой действию ускоряющих сил, равен удвоенной сумме произведений каждой силы на малый отрезок, на который точка подвигается в направлении этой силы. Отсюда легко заключить, что скорость, достигнутая весомым телом вдоль некоторой кривой или изогнутой поверхности, такова, как если бы оно вертикально падало с той же высоты.

Многие философы, поражённые порядком, господствующим в природе, и её плодовитостью в создании явлений, пришли к мысли, что она всегда приходит к своей цели самым простым путём. Распространяя этот взгляд на механику, они искали в ней экономию, которую соблюдает природа в использовании сил и времени. Птолемей узнал, что отражённый свет проходит из одной точки в другую по самому короткому пути и, следовательно, в самое короткое время, полагая скорость световых лучей неизменной. Ферма, один из самых великолепных гениев, которыми гордится Франция, обобщил этот принцип, распространив его на преломление света. Он предположил, что свет проходит из точки, взятой вне прозрачной среды, в точку, находящуюся внутри её, за самое короткое время. Затем, считая очень вероятным, что скорость света должна быть меньше в этой среде, чем в пустоте, он искал, каков будет при этом предположении закон преломления света. Приложив к этой проблеме свой прекрасный метод максимумов и минимумов, который надо рассматривать как истинный зародыш дифференциального исчисления, он нашёл в согласии с опытом, что синусы углов падения и преломления должны быть в постоянном отношении, большем единицы. Счастливый способ, которым Ньютон вывел это отношение из притяжения сред, навёл Мопертюи на мысль, что скорость света в прозрачных средах увеличивается и что, таким образом, вопреки утверждениям Ферма, не сумма частных от деления расстояний, пройденных в пустоте и в среде, на соответствующие скорости, а сумма произведений этих величин должна быть минимальна. Эйлер распространил это предположение на непрерывно изменяющиеся движения и доказал разными примерами, что среди всех кривых, какие может описать тело, двигаясь из одной точки в другую, оно всегда выбирает ту, в которой интеграл произведения его массы на скорость и на элемент кривой минимален. Таким образом, скорость точки, движущейся по кривой поверхности и не побуждаемой никакой силой, постоянна; точка переходит из одного положения в другое по самой короткой линии на этой поверхности. Вышеупомянутый интеграл назвали действием тела, а совокупность подобных интегралов, относящихся к каждому телу некоторой системы, действием системы. Эйлер установил, что это действие всегда минимально, так что экономия природы сводится к его сбережению. В этом заключается принцип наименьшего действия, настоящим изобретателем которого надо считать Эйлера, и который затем был выведен Лагранжем из основных законов движения. Этот принцип по существу есть лишь весьма любопытный результат этих законов, которые, как мы уже видели, наиболее естественны и самые простые из всех, какие можно вообразить, и которые поэтому кажутся вытекающими из самого существа материи. Он годится для всех математически возможных зависимостей между силой и скоростью, если в эти зависимости вместо скорости подставлять функцию скорости, через которую выражена сила. Поэтому принцип наименьшего действия' не следует рассматривать как конечную причину. Этот принцип не только не породил законы движения, но даже не способствовал их открытию, без которого всё ещё спорили бы о том, что следует понимать под принципом наименьшего действия в природе.

Глава III О РАВНОВЕСИИ СИСТЕМЫ ТЕЛ

Самый простой случай равновесия нескольких тел — это равновесие двух материальных точек, сталкивающихся с равными, но противоположными скоростями. Их взаимная непроницаемость — свойство материи, в силу которого два тела не могут в одно и то же время занимать одно и то же место, уничтожает, очевидно, их скорости и приводит эти тела в состояние покоя. Но каково будет в случае равновесия отношение скоростей к массам, если сталкиваются два тела с разными массами и с взаимно противоположными скоростями? Чтобы разрешить эту проблему, вообразим систему соприкасающихся материальных тел, расположенных на одной прямой и двигающихся с некоторой общей скоростью в одном направлении. Кроме того, представим себе другую систему соприкасающихся материальных тел, расположенных на той же прямой и перемещающихся тоже с общей скоростью в противоположном направлении. Столкнувшись, обе системы приходят в равновесие. Ясно, что если бы первая система состояла только из одной материальной точки, каждая точка второй системы погашала бы при столкновении часть скорости первой системы, равную скорости второй системы. Следовательно, в рассматриваемом случае равновесия, скорость ударяющей точки должна быть равной произведению скорости второй системы на число её точек. В результате первую систему можно заменить одной точкой, придав ей скорость, равную этому произведению. Подобным же образом вторую систему можно заменить материальной точкой со скоростью, равной скорости первой системы, умноженной на число её точек. Так, вместо двух систем, мы получим две точки, которые уравновесятся противоположными скоростями, из которых одна будет произведением скорости первой системы на число её точек, а вторая — произведением скорости второй системы на число её точек. В случае равновесия эти произведения должны быть одинаковы.

Масса тела равна сумме его материальных точек. Произведение массы на скорость называют количеством движения, или ещё силой тела. Для равновесия двух тел или двух систем материальных точек, сталкивающихся в противоположных направлениях, количества движения, или противоположные силы тела, должны быть равны и, следовательно, их скорости должны быть в обратном отношении к массам.