Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма - Коллектив авторов - Страница 22

В этом изложении есть скрытое понятие, которое было основополагающим для развития анализа: непрерывное изменение. Используя единственную ось, Ферма сосредоточился на том, как движется точка по кривой, определяющей геометрическое место. Это концептуально отличается от процесса графического представления точек на плоскости с двумя координатными осями и помещения между ними кривой, как большинство из нас научилось делать при составлении графика. Видение Ферма динамично: оно соответствует точке, двигающейся по некоей траектории, и, следовательно, почти случайно Ферма придал физическую реальность аналитической геометрии, которая оказалась основополагающей в последующих работах Ньютона, Лейбница и семьи Бернулли. Другая отличительная характеристика системы Ферма в том, что она включает в себя только положительные величины в области и абсцисс, и ординат, поэтому его кривые всегда находятся в первой четверти плоскости и, следовательно, иногда теряется от половины до трех четвертей их протяженности. Парабола с вершиной в начале координат и фокусом на оси х, например, была бы только половиной параболы.

В приложении, которое вышло через некоторое время после Isagoge, Ферма представил общий метод превращения уравнения третьей или четвертой степени в систему уравнений второй степени. Речь идет о поиске точки пересечения между двумя кривыми. Так, уравнение х³ + bx² = bс с помощью введения новой переменной у превращается в два неопределенных уравнения: х² + bx = by, с = ху. Речь явно идет о пересечении между параболой и гиперболой. К сожалению, геометрический "дух· метода помешал Ферма найти больше одного корня (пересечения), поскольку под влиянием греков он довольствовался только одним положительным корнем. Математик пользовался этими результатами для выступления против классификации кривых Декарта в полемике, которая на сегодняшний день оказалась бесплодной, поскольку данные классификации, как выяснилось, не имеют значения.

Центральная теорема, которую Ферма доказывает в своем Isagoge, состоит в том, что все конические сечения, помимо прямой линии и окружности, могут быть выражены общими уравнениями второй степени или первой степени (в случае с прямой). Ферма делит все возможные уравнения первой или второй степени на семь "канонических" случаев, доказывая, что любое уравнение первой или второй степени можно свести к одному из них: они относятся, соответственно, к окружности, эллипсу, параболе, двум видам гиперболы и двум видам прямой линии. Доказательства для каждого случая намного более подробные, чем те, что обычно давал Ферма, но даже здесь было опущено несколько шагов, которые казались математику очевидными, поскольку они вытекали из классических сочинений, таких как "Данные" Евклида, трактат "Конические сечения" Аполлония или работа Виета.

Как и Виет, Ферма неизменно опускает синтетическое доказательство, считая его тривиальным и пользуясь только аналитическим методом, чтобы дойти от уравнения до геометрического места точек. Однако ясно: ученый считает, что его теоремы обратимы (и это соответствует действительности), то есть для любого геометрического места точек также есть уравнение. Кроме того, в своих доказательствах Ферма использовал, чрезмерно не выделяя их, ряд преобразований, типичных для аналитической геометрии, таких как перемещение круга (чтобы его центр совпадал с началом координат), вращение параболы или изменение переменной. Ученый уже знал, что он может осуществить эти преобразования, и его результат все равно не потеряет обобщенности.

Заложив основы аналитической геометрии на плоскости, Ферма затем принялся за попытки распространить свои результаты на трехмерное пространство. Однако его математические методы не справились с такой задачей. Отсутствие системы координат оказалось роковым; визуализация геометрических результатов в трех измерениях без соответствующих координат слишком сложна, и Ферма так и не добился своей цели.

Декарт был первым, кто рассуждал об алгебре как о виде мыслительного процесса, но ясно, что Ферма, менее склонный к философии, был твердым сторонником данного подхода. Им вдвоем удалось создать новое математическое мышление, актуальное и сегодня. Очевидно, что Ферма не знал этого, но, вероятно, он был одним из последних математиков, которые так глубоко интересовались классиками. Герой нашей книги хотел возродить классическую традицию, восстановив самые значимые работы, однако на самом деле похоронил ее. Инструменты, которыми он пользовался для того, чтобы раскрыть забытые секреты Древней Греции, открыли новый мир, и из-за этого многие классические греческие методы потеряли свое значение.

Аналитическая геометрия стала основой, с помощью которой были созданы другие революционные методы, в частности математический анализ. Ферма понял, что если можно использовать уравнение для полного описания кривой, то можно применить алгебраические действия для изучения свойств этой кривой. Но чтобы прийти к этому выводу, ученому пришлось преодолеть извилистый путь.

Еще в Бордо (где он установил связь с кружком последователей Виета и получал частные уроки математики от Жана Бограна), в молодости, Ферма работал над методом нахождения максимальных и минимальных значений, который, поскольку возник раньше, чем он изобрел аналитическую геометрию, не был основан на ней. Однако в течение примерно 15 лет математик возвращался к данной теме снова и снова, сочиняя небольшие трактаты, посвященные ей, и обсуждая ее в своей переписке. Эти записи наглядно показывают, как менялись мысли Ферма о его методе. В одном из писем Мерсенну он пообещал, что когда у него будет время, он напишет о нем большой трактат, чего так и не сделал. Речь идет о колоссальной потерянной возможности: если бы тулузский математик сдержал свое обещание, не исключено, что сегодня автором дифференциального исчисления мы считали бы Ферма.

Для ученого была характерна несколько хаотичная манера работы. Однажды Декарт с презрением сказал, что Ферма просто решает задачи (как реисты), а не систематизирует. Возможно, в чем-то он был прав. Гению из Тулузы было достаточно убедиться в том, что метод работает, чтобы увериться в его обобщенности, и он забывал про его доказательство. Исследование максимумов и минимумов не стало исключением.

В 1636 году в Париже начала распространяться рукопись Ферма под названием "Метод определения максимумов и минимумов и касательных к кривым линиям" (которую мы будем далее именовать Methodus, по ее латинскому названию). Methodus, написанная, вероятно, в 1629 году, состояла едва лишь из 600 слов. Она представляла собой пару инструкций, алгоритмов. Не было ни одного намека на то, как Ферма пришел к описанному результату, и ни одного доказательства. Как мы увидим, отсутствие ясности в Methodus вызовет у ученого немало проблем. Из-за своеобразной манеры изложения сочинение выглядело абсурдно. Практически сразу же, благодаря вмешательству Декарта, вокруг Methodus развязалась огромная полемика, и Ферма пришлось впервые и практически единственный раз в своей жизни дать детальное объяснение своего метода. Целых пять рукописей, включая письмо Брюлару, написал наш герой на эту тему. Самая важная из них — "Аналитическое исследование метода максимумов и минимумов" (далее "Аналитическое исследование"), в котором он объединяет два подхода, с одной стороны, исходя из работ Виета, а с другой — опираясь на труды Евклида и Паппа.

Действительно, Папп столкнулся с задачей, в которой ему потребовалось получить максимум. Такие задачи привычны для нас сегодня: например, найти геометрическую фигуру, обладающую наибольшим объемом с наименьшей площадью поверхности (сфера). Или, в качестве обратной задачи, определить, являются ли пчелиные соты оптимальной формой покрытия плоскости. Как видно, у данного типа задач много общего с задачами на оптимизацию. В любом случае, внимание Ферма привлекло то, что максимум, который искал Папп, был "единственным и исключительным". Пользуясь своими гуманитарными способностями, Ферма смог понять автора, что считал невозможным сам переводчик Паппа на латынь, Федерико Коммандино. Папп говорил о том, что экстремум является единственным. На основе этого, а также опираясь на работы Виета, Ферма придумал, как составить квадратное уравнение, отвечающее условиям задачи Паппа, у которого было бы только одно решение.