Выбери любимый жанр

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - Альберти Микель - Страница 20


Изменить размер шрифта:

20
Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _124.jpg

Ножницы с тройным лезвием обеспечивают нужный зазор постоянной ширины в 1,2 мм.

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _125.jpg

Два элемента рисунка соединяются с нужным зазором в 1,2 мм.

Перенос кривых также осуществляется автоматически с помощью гибкого лекала — резиновой полоски с металлическим сердечником, сохраняющей придаваемую ей форму. Гибкое лекало позволяет легко преобразовать дуги окружностей объемных фигур в отрезки той же длины на плоскости.

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _126.jpg

Гибкое лекало сохраняет придаваемую ему форму.

Еще одна геометрическая задача, с которой сталкиваются витражисты, заключается в воспроизведении пропорциональных кривых. Эта задача решается при помощи циркуля, как показано на следующей странице. Кривые пропорциональны, если заключенный между ними отрезок перпендикуляра, пересекающего обе кривые, имеет постоянную длину.

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _127.jpg

Циркуль указывает расстояние между двумя соответствующими точками пропорциональных кривых.

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _128.jpg

Циркуль указывает такое же расстояние между двумя другими точками пропорциональных кривых.

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _129.jpg

Обход кривых, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга, при помощи циркуля.

Пропорциональны ли две параллельные кривые? Параллельны ли две пропорциональные кривые?

В случае с ломаными линиями понятия параллельности и пропорциональности эквивалентны, так как любая ломаная есть часть многоугольника, а стороны подобных многоугольников параллельны. Это же верно и для дуг окружности. В таких случаях мысленное представление параллельных и пропорциональных кривых одинаково. Впрочем, если мы рассмотрим предельный случай, то заметим, что интуитивные представления о параллелизме и пропорциональности отличаются. К примеру, две следующие кривые параллельны в том смысле, что перпендикуляр, проведенный к первой из них в любой ее точке, будет перпендикуляром и ко второй, а часть этого перпендикуляра, заключенная между кривыми, всегда будет иметь одинаковую длину — иными словами, эти кривые располагаются на одинаковом расстоянии друг от друга. Но ни одна из них не является уменьшенной или увеличенной копией другой, как в случае с пропорциональными кривыми.

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _131.jpg

Кривая, параллельная данной, не сохраняет углы исходной кривой.

На следующем рисунке можно четко увидеть, чем отличается исходная кривая или ломаная от линии, параллельной ей и расположенной на определенном расстоянии. Существуют две траектории, или кривые, параллельные углу прямоугольника, — внешняя и внутренняя. На внешней траектории угол исчезает, на внутренней образуется петля.

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _132.jpg_0

Внутренняя и внешняя параллели углу прямоугольника.

Продолжение описанной выше задачи можно увидеть в решетке церкви Сан-Феликс в городе Сабадель: в каждую из четырех внутренних окружностей вписано еще по четыре окружности.

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _133.jpg

Фрагмент розы в церкви Сан-Феликс в городе Сабадель в провинции Барселона.

Вы видите окружность, в которую вписаны четыре окружности меньшего размера, касающиеся друг друга. Их центры определяют квадрат. В каждую из четырех окружностей вписано еще четыре окружности по такой же схеме. Если мы продолжим неограниченно вписывать окружности по этому правилу, получим последовательность. Общее число окружностей в этой последовательности, С(n), будет определяться как сумма степеней 4:

C(n) = 1 + 4 + 42 + 43 +… + 4n = (4n+1- 1)/3

Однако мастеров интересовало не столько число окружностей, сколько соотношение между их радиусами. Если мы обозначим через R радиус большой окружности, то радиусы четырех вписанных в нее окружностей будут равны:

2R = 2r + 2r√2 = > r = R/(1 + √2)

Подобная задача приведена в последней из обнаруженных на сегодняшний день сайгаку (мы уже говорили, что эта табличка была найдена в городе Тояма в 2005 году). Задача заключается в том, чтобы определить соотношение между r — радиусами восьми окружностей, расположенных в форме кольца и вписанных в другую, большую окружность, и R — радиусом большой окружности. В обобщенном варианте задачи требуется найти соотношение радиусов в случае, когда в большую окружность вписано не четыре и не восемь, а n окружностей, расположенных в форме кольца. Применив методы тригонометрии, получим решение:

Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - _136.jpg

Как видите, в Средние века математическая мысль существовала не только в Старом Свете. Архитектурные стили в самых разных частях мира строятся на диалоге круга и квадрата, поскольку эти геометрические фигуры играют главную роль во всех культовых сооружениях. На основе круга и (или) квадрата, параллельных и перпендикулярных прямых построены египетские пирамиды, вавилонские зиккураты, храмы, мавзолеи и другие религиозные сооружения.

Также на основе квадратов и кругов создаются самые разные трехмерные фигуры — полусферы буддийских ступ в Индии и Непале, увенчанные кубами, ступенчатые пирамиды доколумбовой Америки и даже спираль, устремленная в небо, в исламских мечетях Ближнего Востока.

Способ выражения верований — важнейшая часть культуры. Архитектура придает отношениям человека с богами осязаемую форму, и в религиозной архитектуре особую роль играет математика. В некоторых культурах математика также определяет обряды для верующих всех социальных групп. Например, на острове Бали женщины каждый день изготавливают емкости для подношений богам в форме различных геометрических фигур. При этом островитяне на практике воплощают математические идеи, воспринятые от родителей. Это знания, передаваемые из поколения в поколение, не связаны с формальной академической средой.

Человек, уважающий богов, не действует наобум. Он со всем тщанием подходит и к строительству храмов, и к посуде для подношений — если есть в жизни место совершенству, то именно в сфере религии. В свете всего вышесказанного можно утверждать, что совершенство во всех культурах связывается с геометрией, а математические идеи, созданные в разных культурах и описывающие эту взаимосвязь, объединяются понятием «этноматематика».

Глава 4

Как геометрия делает красивое прекрасным

Нельзя сказать, что использование геометрии само по себе делает вещи красивее. Но в названии этой главы мы хотим подчеркнуть, что во всех культурах высоко ценились качественно сделанные вещи, а качество во многих случаях достигалось именно благодаря математической точности. Именно в этом смысле Эрнст Гомбрих говорит о роли геометрии в искусстве в своей книге «Чувство порядка», посвященной декоративно-прикладному творчеству.

20
Перейти на страницу:
Мир литературы

Жанры

Фантастика и фэнтези

Детективы и триллеры

Проза

Любовные романы

Приключения

Детские

Поэзия и драматургия

Старинная литература

Научно-образовательная

Компьютеры и интернет

Справочная литература

Документальная литература

Религия и духовность

Юмор

Дом и семья

Деловая литература

Жанр не определен

Техника

Прочее

Драматургия

Фольклор

Военное дело