В погоне за красотой - Смилга Вольдемар Петрович - Страница 7

Например: через две различные точки проходит одна, и только одна, прямая. Это аксиома, сформулированная на обычном языке.

Если строго придерживаться терминологии, введенной чуть ранее, надо было бы сказать так:

двум различным точкам может принадлежать одна, и только одна, прямая.

И далее в том же духе. Как хорошее упражнение рекомендую на основе этой аксиомы доказать теорему: «Две прямые имеют лишь одну общую точку».

Всего в евклидовой геометрии сейчас различают пять групп аксиом. Это:

1) аксиомы соединения;

2) аксиомы порядка;

3) аксиомы движения;

4) аксиома непрерывности;

5) аксиома о параллельных.

Вряд ли стоит сейчас перечислять все эти аксиомы, мы поместим их в приложении, памятуя слова Геродота, что ничто не придает книге такой вес и солидность, как приложения.

К аксиомам мы еще не раз вернемся, а пока укажем…

Этап № 3. Перечисление Основных Определений.

При помощи Основных Понятий мы строим более сложные. Например: угол — это фигура, образованная двумя полупрямыми (лучами), исходящими из одной точки.

Если внимательно прочитать эту фразу, станет ясно, что в определении угла использовано одно сложное понятие, а именно: «луч» — полупрямая.

Очевидно, мы должны были раньше дать определение этого понятия при помощи Основных. Это довольно легко можно сделать. Читатели могут проверить, насколько они прониклись духом дедукции, и, вооружившись списком аксиом, попытаться решить эту задачу.

Если бы оказалось, что, используя Основные Понятия, невозможно определить, что такое луч, тогда пришлось бы это понятие отнести к Основным.

В общем все остальные понятия и определения вводятся при помощи Основных, а также (внимание!) тех аксиом, которые установлены нами для Основных Понятий.

Нам остался последний…

Этап № 4. Формулировка теорем. Доказательство теорем.

Для наших понятий (Основных и неосновных) мы высказываем утверждения-теоремы, которые и доказываем.

Это, собственно, и есть предмет геометрии.

Я сейчас еще раз хотел бы повторить, что в такой постановке геометрия превращается в совершенно абстрактную игру наподобие шашек либо, еще лучше, шахмат.

Там также есть Основные Понятия — фигуры. Есть аксиомы — совокупность правил игры. И наконец, есть теоремы. Собственно, одна теорема: как поставить противнику мат.

Для решения этой «теоремы» игрок в ходе партии доказывает десятки лемм (вспомогательных теорем), выбирая всякий раз лучший, по его мнению, ход в данной позиции.

Впрочем, отличие игр от геометрии есть. Оно состоит в том, что очень часто партнерами принимаются неправильные «доказательства». В шахматах, скажем, не сформулированы (неизвестны) строгие логические критерии оценки каждого хода или позиции. В геометрии они есть. В ней всегда можно установить, что вновь сформулированная теорема противоречит предыдущим теоремам, а значит, противоречит и более ранним, а значит… Разматывая клубок до конца, мы приходим к двум возможностям. Или мы допустили ошибку в нашем рассуждении, или теорема, которую мы вновь сформулировали, ошибочна.

Первая возможность малоинтересна для науки; она показывает лишь то, что мы плохо владеем математикой.

Зато во второй содержится определенный и часто очень важный результат. Если мы убедились, что наша гипотеза (теорема) неверна, следовательно, верны другие теоремы, именно те, что противоречат нашей. Если таких противоречащих теорем лишь одна, то нашим рассуждением мы ее доказали.

Последним абзацем, возможно в излишне туманной и абстрактной форме, мы разобрали схему очень распространенного в геометрии (как и вообще в математике) метода «доказательства от противного». Или по-другому — метода «приведения к абсурду» (reductio ad absurdum).

Чтобы не слишком воспарять, проследим на конкретном примере одно такое доказательство.

Пусть к прямой восстановлены два перпендикуляра. Будем пользоваться радианной мерой измерения углов и вместо 90 градусов писать ^π/₂.

Возможны два, и только два, варианта: они пересекаются в какой-то точке С; они не пересекаются вообще.

Докажем, что справедлива вторая теорема. Доказываем от противного.

Предположим, выполняется первое предположение: перпендикуляры пересеклись. Тогда образовался треугольник АВС^[1]. Он замечателен тем, что внешний <В равен внутреннему <А. И конечно, внешний <А равен внутреннему <В.

Но существует теорема (ее истинность не будем сейчас подвергать сомнениям): «Внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним».

Наш треугольник теореме не удовлетворяет. Следовательно, такого треугольника быть не может. Следовательно, мы где-то ошиблись.

Проверяем рассуждение. Все правильно. Значит, ошибку мы сделали в самом начале, когда допустили, что перпендикуляры пересекаются.

Итак, перпендикуляры не пересекаются. Мы это доказали строго. Непересекающиеся прямые Евклид называл параллельными. И до поры до времени мы также будем придерживаться этой терминологии.

Подведем итог. Мы получили, что две прямые, перпендикулярные к общей прямой, параллельны. Вообще говоря, нам надо было бы еще доказать, что эти прямые не пересекутся и в нижней полуплоскости. Но это дословное повторение предыдущего доказательства, и время на него тратить не будем.

При доказательстве мы апеллировали к теореме о внешнем угле треугольника. Поскольку проницательный читатель, конечно, понял, что весь пример очень существен для дальнейшего, то без лишних разговоров докажем и эту теорему. Она предельно важна для нас. И вся история с пятым постулатом…

Прошу вас оценить детективный стиль рассказа — сам постулат еще никак не сформулирован.

Так вот, вся история с пятым постулатом завязалась именно с этой теоремы.

Пусть есть Δ ABC. Поглядите! Внешний <С_вн выделен на нем дужкой. Докажем, что он больше любого внутреннего угла, не смежного с ним, то есть больше <А и больше <В. Сейчас мы проведем доказательство для <В.

Разделим сторону ВС точкой D пополам и проведем через А и D прямую.

На этой прямой отложим отрезок DE, равный AD, и соединим прямой точку E с точкой C.

Треугольники ABD и DEC равны. Действительно, отрезки AD = DE и BD = DC по построению. Углы CDE и ADB равны как вертикальные.

Значит, треугольники равны по известному признаку.

Но тогда <В (или угол АВС) равен углу BCE! И о радость! Ведь <BCE лишь часть <С_вн.

Итак, весь <С_вн больше (конечно, больше; целое всегда больше своей части) <В.

Остался под сомнением <А. Сразу чувствуется, что наше построение не очень поможет с ним расправиться, так как на чертеже <А рассечен на две части. Хорошо бы его поставить в положение <В. Может быть, провести прямую из вершины В и повторить и наше построение и доказательство? Но тогда <С_вн окажется расположенным по-другому.

Полная аналогия с предыдущим была бы, если бы еще продолжить сторону ВС и рассматривать новый угол N.