В погоне за красотой - Смилга Вольдемар Петрович - Страница 21

Вообще по характеру, темпераменту, взглядам, по многим жизненным обстоятельствам Хаййам поразительно напоминает Галилея.

Как будто двое близких родственников жили на разных краях мира с интервалом в 500 лет.

Я не буду особо обосновывать эту параллель. Каждый может сам решать, так ли это. Но, по-моему, они близки, близки во всем. И, следуя Киплингу, кончим той фразой, с которой мы начали.

Восток, как известно, есть Восток.

В отличие от Запада, который есть Запад…

Их было много. Очень много. Не меньше тысячи.

Так или иначе, раньше или позже судьба сталкивала их с пятым постулатом, и они погружались в манящий лабиринт теорем.

Выхода не находил никто.

Иные запутывались в самом начале, иные проходили дальше, но итог был неизменно постоянен.

Некоторые отдавали этой безнадежной задаче всю жизнь, другие вовремя отступали.

Иные доходили до нервного потрясения, мистицизма и отчаяния, иные же философски спокойно бросали в корзину листки своих выкладок. Но итог был неизменен.

Некоторым улыбался мираж, и они пребывали в счастливой уверенности, что выбрались наружу. Но итог оставался неизменен.

Они повторяли пути предшественников, не зная, что идут уже проверенным и отброшенным путем, часто им светила надежда, и казалось, что нужно лишь одно решительное усилие. Но итог всегда бывал один.

Дилетанты, профессионалы, наивные посредственности и талантливейшие математики; греки, арабы, персы, европейцы — те, кто запутывался на первых шагах, и те, кто сражался долго, упорно и изобретательно — более двух тысяч лет, — всех их ждал один конец.

Пятый постулат был неприступен. Он относился, казалось, к тем задачам, что никогда не будут решены при помощи человеческого ума.

Но раз уж мы пленились возвышенным стилем, то можно сказать, что математики точно следовали девизу, высеченному на могиле капитана Скотта:

И подобно бескрайним снегам, пятый постулат поглощал одного за другим.

Большинство не оставили после себя каких-либо следов. Они исчезли бесследно. Но некоторые гибли достойно, оставив по себе добрую память.

На кладбище жертв «пятого» одно из самых почетных мест по праву принадлежит Анри Лежандру.

Лежандр был, возможно, наиболее крупным математиком среди тех, кто попал под гипноз пятого постулата. Он занимался им долгие годы, подступал к чудовищу то с одной, то с другой стороны. Находил и опровергал, предлагал одно доказательство за другим, переходил от уверенности в успехе к полному разочарованию, снова надеялся на удачу, но под конец все же сам заключил, что точного решения не найдено. Признание содержится уже в самом названии резюмирующей работы, опубликованной им в последние годы жизни (1833 г.), «Размышления о различных способах доказательства теории параллельных линий или теоремы о сумме углов треугольника».

Как часто бывает в науке, это осторожное, обширное и в итоге пессимистическое исследование появилось тогда, когда уже было найдено решение и в «Вестнике Казанского университета» была напечатана первая работа Лобачевского.

Впрочем, тут удивляться не приходится. Но вот то, что ровно через двадцать лет наш русский академик В. Я. Буняковский, который, уж во всяком случае, обязан был знать работы Лобачевского, опубликовал аналогичное исследование, — это грустный факт. Еще раз обращаю ваше внимание на поразительный, почти анекдотический характер этого события. Впрочем, разговор о нем еще впереди.

В своих многолетних попытках доказать пятый постулат Лежандр проявил и настойчивость и замечательную изобретательность.

Во-первых, он очень изящно доказал несколько теорем «абсолютной геометрии». Во-вторых, доказывая «пятый» от противного, он, по существу, нашел ряд теорем геометрии Лобачевского. Доказывал он не непосредственно «пятый», а его эквивалент — «сумма углов треугольника равна π».

Прежде всего он доказывает эквивалентность.

Уже по нашей доморощенной теореме, когда на эквивалентность с «пятым» исследовался постулат: «перпендикуляр и наклонная пересекаются», можно было почувствовать, как тесно связан «пятый» с теоремой о сумме углов треугольника.

Но, конечно, доказательства эквивалентности этой теоремы и пятого постулата мы не дали.

Полное доказательство эквивалентности любых двух утверждений содержит две части.

1. Доказывается: «Если принять утверждение A, то из него следует утверждение B».

2. Доказывается обратная теорема: «Если принять утверждение B, то из него вытекает утверждение A».

В нашем случае надо доказать:

Если справедлив «пятый» — сумма углов треугольника равна π.

Эта первая часть доказательства — известная теорема и приводится во всех школьных учебниках геометрии. Вторую половину задачи решает Лежандр, и решает безукоризненно. Посмотрим, как он действовал. Во-первых, он доказывает:

1. Сумма углов треугольника не может быть больше π.

Доказывает безукоризненно строго. Конечно, не используя пятого постулата. И даже дает два варианта доказательства. Оба правильные. Метод доказательства — испытанное оружие «reductio ad absurdum». Предполагается, что существует треугольник, сумма углов которого равна (π + α), и показывается, что в этом случае мы непременно придем к противоречию. Доказательства довольно просты.

Я не повторяю их потому, что для любителей геометрии весьма привлекательно получить этот результат самостоятельно.

Далее идут несколько вспомогательных теорем, и он доказывает очень важное утверждение:

2. Если сумма углов в каком-либо одном треугольнике равна π, то она равна и во всяком другом треугольнике.

Все доказывается без привлечения пятого постулата. Средствами абсолютной геометрии.

Теперь все подготовлено для последней теоремы этого цикла — доказательства эквивалентности:

3. Если сумма углов треугольника равна π, справедлив постулат Евклида. Вообще говоря, если принять первые два утверждения, то эквивалентность сразу можно доказать с помощью «нашей» теоремы. Предоставляю читателям самостоятельно проверить это утверждение. Кстати, можно признаться, что примерно так и доказывал Лежандр. Остается получить только одно:

4. Сумма углов треугольника не может быть меньше π.

Только это! И пятый постулат доказан.

И Лежандр решает эту задачу.

Доказательство Лежандра великолепно.

Оно изящно. Просто. Неожиданно.

В нем есть все, что восхищает нас в математике. Кроме одного.

Оно неверно.

Но внимания оно заслуживает.

Метод — снова доказательство от противного. Перед нами Δ ABC. С него мы начинаем. Он главный. И сумма его углов по предположению равна (π – α).

Стороны угла A мы продолжим до бесконечности. Это понадобится в дальнейшем.

Теперь — вспомогательное построение.

На стороне BC строим еще один точно такой же треугольник. Он виден на чертеже — это Δ BCD.

Построили мы его так, что сторона BD = AC, а сторона CD = AB. Легко убедиться, что сделать это всегда возможно. И теория параллельных пока никак не вмешивается в наши рассуждения. Теперь из точки D проведем какую-либо прямую. К ней предъявляется единственное требование. Она должна пересечь обе стороны угла А. Вроде бы очевидно, что можно найти не одну, а много прямых, удовлетворяющих этому условию.