Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - Семихатов Алексей - Страница 44
- Предыдущая
- 44/95
- Следующая
Чтобы получить сбалансированное представление о комплексных числах, неплохо бы понять, как вообще современные математики воспринимают числа. Это мы сейчас и рассмотрим, включив в наш рассказ заодно и комплексные числа. Не нервничайте пока слишком сильно по поводу того, что же они собой представляют: подробности последуют очень скоро, а в несколько следующих абзацев комплексные числа включены просто для полноты.
Итак, как же современный математик воспринимает числа? В виде ажурных букв, вот как! В виде букв N, Z, Q, R и C.{1} Я пытался придумать какое-нибудь идиотское, а потому застревающее в памяти мнемоническое правило для их запоминания, но не смог изобрести ничего, кроме Nine Zulu Queens Ruled China.[92]
А может, я и поспешил немного. Вот альтернативный ответ на тот же вопрос: математики воспринимают числа как набор сидящих одна в другой матрешек. Вот таких.
• Самая внутренняя матрешка: натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, ….
• Следующая матрешка: все целые числа. Другими словами, натуральные числа вместе с нулем и отрицательными целыми (такими как ?12).
• Следующая матрешка: рациональные числа. Другими словами, все целые вместе с положительными и отрицательными дробями (например, числа 3/2, ?1/917 635, 1000 000 000 001/6).
• Следующая матрешка: вещественные числа. Другими словами, рациональные вместе с иррациональными, такими как v2, ?, e. (Из примечания [18] в главе 3.vi мы помним, что древние греки открыли существование чисел, которые не являются ни целыми, ни дробями, — иррациональных чисел.)
• Внешняя матрешка: комплексные числа.
Уместно сделать несколько замечаний по поводу такой организации. Во-первых, числа из каждой матрешки записываются характерным для каждой из них способом.
• Натуральные числа обычно записываются так: 257.
• Целые могут иметь перед собой знак, например ?34.
• Рациональные числа чаще всего записываются в виде дробей. В том, что касается записи в виде дроби, рациональные числа бывают двух видов. Те, величина которых (без учета знака) меньше единицы, называются «правильными дробями», а все остальные — «неправильными». Правильная дробь записывается таким образом: 14/37. Неправильную дробь можно записать двумя способами: как собственно неправильную дробь 13/9 или же в «смешанном» виде (с выделенной целой частью) 14/9.
• Наиболее важным вещественным числам присвоены специальные обозначения, такие как ? и e. Многие другие можно выразить «в замкнутом виде», подобно
• Комплексные числа выглядят так: ?13,052 + 2,477i. О них мы еще поговорим.
Следующее, что нужно заметить, — это что обитатели каждой матрешки являются привилегированными гражданами следующей (внешней) и при желании могут быть записаны в стиле, принятом для этой внешней матрешки:
• Натуральные числа (скажем, 257) — это привилегированные целые числа, и их можно записать, поставив перед ними знак плюс, как +257. При виде целого числа со знаком плюс перед ним мы думаем: «Натуральное!»
• Целые (скажем, ?27) — это привилегированные рациональные числа, и их можно записать в виде дроби, знаменатель которой равен 1, как ?27/1. При виде рационального числа со знаменателем 1 мы думаем: «Целое!»
• Рациональные числа (скажем, 1/3) — это привилегированные вещественные числа, и их можно записать в виде десятичных дробей, как 0,33333333…. Насчет рациональных чисел интересен тот факт, что при записи рационального числа в виде десятичной дроби знаки после запятой рано или поздно обязательно начнут повторяться (если только они вообще не исчерпаются, как, скажем, в числе 7/8 = 0,875). Рациональное число 65 463/27 100, например, в виде десятичной дроби выглядит следующим образом:
Все рациональные числа демонстрируют такие повторы, но ни одно из иррациональных ничего подобного не делает. Другими словами, иррациональное число не может проявлять никакого порядка в последовательности своих знаков после запятой. Число
ясно демонстрирует некий порядок, и несложно заранее сказать, каков в нем сотый знак после запятой, или миллионный, или триллионный. (Спорим? Это соответственно 5, 1 и 1). Однако число это иррациональное. Когда же мы видим вещественное число, в котором знаки после запятой повторяются, мы думаем: «Рациональное!»
• Любое вещественное число можно записать как комплексное. Например, v2 записывается в виде комплексного числа как v2 + 0i. Подробности ниже.
(В этом списке можно и перескочить через несколько ступенек и записать, скажем, натуральное число как вещественное: 257,000000000….)
Каждое семейство чисел — каждая из матрешек — обозначается ажурной буквой: N — семейство всех натуральных чисел, Z — целых, Q — рациональных, a R — вещественных. Каждое семейство в определенном смысле содержится внутри следующего. И каждое расширяет возможности математики, позволяя делать что-то такое, чего нельзя было делать с предыдущей матрешкой. Например, Z позволяет получить ответ для вычитания любого целого числа из любого целого, чего не удавалось сделать, оставаясь в N (7 ? 12 =?). Подобным же образом Q позволяет получить ответ для деления на любое число (кроме нуля), чего не удавалось сделать, оставаясь в Z ((?7):(?12) =?). И наконец, R открывает дорогу анализу — математике пределов, — поскольку любая сходящаяся бесконечная последовательность чисел в R имеет предел (что неверно для Q).
(Вспомним последовательности и ряды, с которыми мы встретились в конце главы 1. Все они состояли из рациональных чисел. Некоторые из них сходились к 2, или 2/3, или 11/2 — т.е. их пределы также оказывались рациональными. Но другие, напротив, сходились к v2, или ?, или e — иррациональным числам. Таким образом, бесконечная последовательность чисел из Q может сходиться к пределу, который не лежит в Q. Математический профессиональный термин: Q не является полным. Напротив, R полно, как полно и С. Эта идея пополнения Q приобретет новое значение, когда в главе 20.v мы будем говорить о p-адических числах.)
Можно выделить и другие категории чисел или внутри приведенной схемы N—Z—Q—R—C, или же «нарезав ее поперек». Очевидный пример доставляют простые числа — подмножество в N. Их совокупность иногда обозначается как P. Имеется также очень важное подмножество в С, называемое алгебраическими числами и иногда снабжаемое собственной ажурной буквой А. Алгебраическое число — это такое число, которое является нулем некоторого многочлена, все коэффициенты которого взяты из Z, например, 2x7 ? 11x6 ? 4x5 + 19x3 ? 35x2 + 8x ? 3. Среди вещественных чисел каждое рациональное (и, следовательно, каждое целое и натуральное) — алгебраическое; 39 541/24 565 есть корень многочлена 24 565x ? 39 541 (или, если вы предпочитаете язык уравнений и их решений языку функций и их нулей, — решение уравнения 24 565x ? 39 541 = 0). Иррациональное число может быть, а может и не быть алгебраическим. Те, которые не являются алгебраическими, называются трансцендентными. И число ?, и число e трансцендентны, как это доказали, соответственно, Эрмит в 1873 году и Фердинанд фон Линдеманн в 1882.
92
Буквально — «девять зулусских цариц правили Китаем», фраза в русском переводе столь же бессмысленная, как и в оригинале, но, кроме того, еще и бесполезная. Вообще-то одной этой фразой дело в любом случае не ограничивается: в математике встречаются еще и ажурные буквы H и O. В рамках аналогии, приводимой автором в следующем абзаце, это, если угодно, огромные и толстые матрешки, которые по некоторым признакам уже не совсем матрешки. (Примеч. перев.)
18
Одно из великих математических открытий Античности, сделанное Пифагором или одним из его учеников около 600 г. до P.X., состояло в том, что не всякое число есть целое или дробь. Например, квадратный корень из 2, без сомнения, не является целым. Грубая арифметика показывает, что он лежит где-то между 1,4 (которое в квадрате дает 1,96) и 1,5 (которое в квадрате дает 2,25). Это, однако, и не дробь. Доказательство таково. Пусть S обозначает множество положительных целых чисел n, для которых выполнено такое свойство: nv2 — также положительное целое число. Если множество S не пусто, в нем есть наименьший элемент. (Любое непустое множество положительных целых чисел имеет наименьший элемент.) Обозначим этот наименьший элемент буквой k. Теперь образуем число u = (v2 ? 1)k. Легко видеть, что (i) u меньше, чем k, (ii) u — положительное целое и (iii) uv2 — также положительное целое, так что (iv) u лежит в множестве S. Это противоречие, поскольку мы определили k как наименьший элемент из S, и, следовательно, предположение, из которого мы исходили, — что S не пусто — должно быть ложным. Следовательно, множество S пусто. Следовательно, нет положительного целого числа n, для которого nv2 — положительное целое число. Следовательно, v2 — не дробь. Число, которое не является ни целым, ни дробным, называется «иррациональным», поскольку оно не есть отношение (ratio) двух целых чисел.
- Предыдущая
- 44/95
- Следующая
