Геометрия, динамика, вселенная - Розенталь Иосиф Леонидович - Страница 3

Те же трудности возникают при попытках эмпирически воспроизвести другое основное понятие геометрии — прямую линию. Обычно полагают, что эталоном прямой является луч света, распространяющийся в пустом пространстве. Однако в соответствии с основными принципами оптики и квантовой механики ширина пучка света по порядку величины равна длине волны λ, а это значение невозможно свести к нулю.

Но главная проблема, пожалуй, не в конечности величины λ. Положение о прямолинейности распространения света в пустоте (даже в пренебрежении значением λ) само является лишь постулатом, требующим независимого доказательства. В нашем распоряжении нет априорно идеальной линейки, которая позволила бы проверить прямолинейность распространения светового луча. Следовательно, это утверждение имеет лишь полуинтуитивное обоснование, основанное на том эмпирическом факте, что в нашем распоряжении нет других методов, позволивших прочертить абсолютно прямую линию между двумя точками. Однако даже это свойство света не гарантирует его прямолинейность. Допустим, что пространство имеет форму сферы. Кратчайшее расстояние на сфере — отрезок большого круга, отнюдь не тождественный прямой. Поэтому утверждение: световой луч прочерчивает прямую эквивалентно тезису: наше пространство плоское, евклидово. А этот тезис сам нуждается в эмпирическом образовании.

К этому вопросу мы далее будем неоднократно возвращаться.

До конца 20-х годов прошлого столетия евклидова геометрия казалась незыблемой и единственной теорией пространства.

В 1829 г. Н.И.Лобачевский опубликовал статью «О началах геометрии». В этой статье, так же как и в письмо молодого венгерского математика Я.Больяи, переданном К.Гауссу, утверждалось, что возможно построение непротиворечивой геометрии, не содержащей известный пятый постулат евклидовой геометрии. Этот постулат, гласящий, что через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной, казался наиболее уязвимым (или наименее очевидным) априорным требованием евклидовой геометрии. Однако попытки вывести его из других аксиом оканчивались всегда неудачей. Поэтому был выбран другой путь — построение геометрии, основанной на всех аксиомах и постулатах Евклида, но в которой был заменен пятый постулат о параллельных: через одну точку можно провести либо бесконечное множество прямых, параллельных данной, либо ни одной.

Кажется не лишенным интереса следующий вопрос: почему в течение тысячелетий геометрия Евклида сохранялась в первозданной форме, а затем почти одновременно три человека подвергли ревизии одно из основных ее положений? Разумеется, на этот вопрос нет однозначного ответа. Однако разумно допустить, что подобное совпадение не случайно. В ревизии геометрии свою роль сыграл психологический климат, характерный для общественной жизни того времени, явившийся следствием происшедших революционных потрясений и обусловивший стремление к критическому пересмотру канонизированных учений. Даже библейские догматы, освященные тысячелетней верой и поддерживавшиеся авторитарностью церкви, подверглись критическому анализу (Б.Спиноза).

Лишь геометрия Евклида оставалась каноническим учением, но, наконец, наступила и ее очередь.

Необходимо подчеркнуть важное обстоятельство. Отрицание пятого постулата отнюдь не означает отрицания всей Евклидовой геометрии. Все аксиомы его геометрии и сам дух этой науки сохранились. Но отрицание даже одного утверждения Евклида имело далеко идущие последствия: возникла мысль, что геометрия Евклида не единственное и не последнее слово в геометрии. А такая мысль могла быть расценена в то время не иначе, как ересь. (Известно, что Гаусс не опубликовал своих исследований по основам геометрии, опасаясь непонимания со стороны своих коллег.)

Исключительно важным следствием скепсиса в отношении пятого постулата является постановка вопроса о необходимости его экспериментальной проверки. Непосредственная его проверка весьма затруднительна. Представляется даже уместным употребить слово «невозможна». Дело в том, что если (как отмечалось ранее) нет экспериментального критерия (прямизны) линии, то еще более сложно реализовать эмпирически несколько прямых и убедиться, в отсутствии их пересечения на больших расстояниях. Однако пятый постулат о параллельных эквивалентен (в сочетании с другими аксиомами евклидовой геометрии) утверждению, которое в принципе подвергается непосредственной проверке. согласно этому утверждению сумма углов треугольника равна π. Измерение углов — операция весьма разработанная, и поэтому проверку этого положения можно проделать с относительно хорошей точностью.

Уже в первых работах по неевклидовой геометрии было продемонстрировано, что отклонение суммы углов треугольника от π (при отрицании постулата о параллельных) пропорционально площади треугольника. Поэтому казалось, что если провести измерения углов достаточно большого треугольника, то нетрудно проверить истинность (или ложность) пятого постулата. К сожалению, такой оптимистический вывод необоснован.

Истоки трудностей предложенного метода проверки коренятся в принципиальной неопределенности термина «большое само по себе». В точных науках имеет смысл лишь утверждение: «большое относительно чего-то». В упомянутом же выше утверждении отсутствует именно эталон, который вдохнул бы полноценное содержание в утверждение о сумме углов треугольника.

Лобачевский и Гаусс (независимо) в своих попытках проверить евклидову геометрию, по-видимому, исходили из убеждения, продиктованного античной философией: «человек мера всех вещей». Поэтому казалось, что достаточно выбрать треугольник со сторонами, существенно превышающими размеры человека. Например, Гаусс измерил сумму углов треугольника со сторонами, во много раз (10**5) превышающими размеры человека. В результате измерений оказалось, что в пределах экспериментальных ошибок сумма углов треугольника равна π.

Следует четко понимать, что в экспериментальном подходе в проверку пятого постулата «нет» и «да» весьма неэквивалентны. Метод, основанный на измерении суммы углов треугольника, может продемонстрировать отклонение от евклидовой геометрии, но не может доказать ее абсолютную справедливость. Действительно. какой бы треугольник в пределах наблюдаемой части Вселенной мы ни использовали в качестве образца, всегда можно утверждать, что его площадь мала, а точность наших приборов недостаточна для обнаружения отклонений от евклидовой геометрии. Все же известная польза от опытов Гаусса — Лобачевского (или аналогичных экспериментов) существует: если и есть отклонения от евклидовой геометрии, то они малы. Это вывод верен по крайней мере для масштабов, существенно превышающих привычные земные расстояния.

Итак, с одной стороны, евклидовость пространства допускает опытную проверку. В другом аспекте — евклидова геометрия как логическая система аксиом и теорем является лишь одной из возможностей. В дальнейшем мы продемонстрируем, что таких возможностей много, существенно больше, чем полагали основоположники неевклидовой геометрии. Тем не менее геометрия нашего пространства евклидова или почти евклидова. Почему природа выбрала этот вариант геометрии? На этот вопрос мы попытаемся ответить в гл.3.

Здесь же мы ограничимся замечанием, что среди всех логически замкнутых геометрий система Евклида является наиболее простой. Представляется, что, помимо простоты, эта геометрия также и наиболее естественна. Впрочем, подобное суждение лишь отражает субъективное мнение автора.

Для иллюстрации идеи неевклидовости пространства полезно привести достаточно простой пример. Пусть пространством является поверхность обычной двумерной сферы. Отвлечемся прежде всего от привычного образа сферы, вложенной в видимое трехмерное пространство, полагая сферу самостоятельным автономным объектом. Будем полагать, что «прямые» в таком сферическом пространстве — кратчайшие расстояния между двумя заданными точками на сфере, т. е. дуги большого круга. Положим, что бесконечным прямым в евклидовом пространстве соответствуют окружности на сфере. Здесь правильно будет говорить именно о соответствии, а не о тождестве, поскольку окружность на сфере обладает лишь одним свойством евклидовой прямой — отсутствием границ, но не обладает другим ее свойством — бесконечной протяженностью. Окружность на сфере безгранична, но конечна. Нетрудно, далее, убедиться, что через любую точку сферы, не находящуюся на данном большом круге, нельзя провести большой круг, не пересекающий данный, т. е. «параллельную». Иначе говоря, все «прямые» пересекаются.