Наука логики - Дебольский Г. Н - Страница 62
- Предыдущая
- 62/221
- Следующая
Что касается сохранения отношения при исчезновении определенных количеств, то мы встречаем (у других авторов, например у Карно, Reflexions sur la metaphysique du calcul infinitesimal) выражение, что в силу закона непрерывности исчезающие величины, прежде чем исчезнуть, еще сохраняют то отношение, из которого они происходят. - Это представление выражает истинную природу вещей, поскольку здесь подразумевается не непрерывность определенного количества, которой оно обладает в бесконечном прогрессе, непрерывность, выражающаяся в том, что определенное количество так продолжает себя в своем исчезновении, что по ту сторону его снова возникает лишь конечное определенное количество, новый член ряда. Однако непрерывное движение вперед всегда представляют так, что проходят имеющие еще значение конечные определенные количества. В совершающемся же переходе в истинное бесконечное непрерывным оказывается отношение; оно настолько непрерывно и сохраняется, что переход состоит скорее лишь в том, что он выделяет отношение в чистом виде и приводит к исчезновению безотносительного определения, т. е. что определенное количество, будучи стороной отношения, есть определенное количество еще и тогда, когда оно положено вне этого соотношения. - Такое очищение количественного отношения есть в этом смысле не что иное, как постижение эмпирического наличного бытия через понятие (begriffen wird). Этим эмпирическое наличное бытие настолько возвышается над собой, что его понятие содержит те же определения, что оно само, но схваченные в их сущности и выраженные в единстве понятия, в котором они лишились своего безразличного, чуждого понятия существования (Bestehen).
Столь же интересна и другая форма, в какой Ньютон трактует разбираемые нами величины, а именно трактовка их как производящих величин или начал. Произведенная величина (genita) - это произведение или частное, корни, прямоугольники, квадраты, а также стороны прямоугольников, квадратов, вообще конечная величина. - "Рассматривая ее как переменную, как она возрастает или убывает в постоянном движении и течении, я понимаю под названием моментов ее мгновенные приращения или убывания. Но не следует принимать эти моменты за частицы, имеющие определенную величину (particulae finitae). Такие частицы суть не самые моменты, а величины, произведенные из моментов; под последними следует понимать скорее находящиеся в становлении принципы, или начала, конечных величин". Ньютон отличает здесь определенное количество от него же, рассматривает, каково оно как продукт или налично сущее и каково оно в своем становлении, в своем начале и принципе, т. е. каково оно в своем понятии или - здесь это то же самое - в своем качественном определении; в качественном определении количественные различия, бесконечные приращения или убывания суть лишь моменты; только ставшее есть то, что перешло в беэразличие наличного бытия и во внешность, - определенное количество. - Но если философия истинного понятия [бесконечного] должна признать эти определения бесконечного, приведенные относительно приращений или убывании, то сразу же следует заметить, что самые формы приращения и т. д. находятся внутри категории непосредственного определенного количества и указанного выше непрерывного движения вперед и что представления о приращении, приросте, умножении х на dx или г и т. д. должны рассматриваться скорее как основное зло этих методов как постоянное препятствие к возвышению от представления об обычном определенном количестве к чистому определению качественного момента количества.
Против указанных определений очень отстало представление о бесконечно малых величинах, связанное с [представлением о] самом приращении или убывании. Согласно этому представлению, бесконечно малые величины таковы, что можно пренебрегать не только ими самими при сравнении с конечными величинами, но также их высшими разрядами при сравнении с низшими, а равно и произведениями нескольких таких величин при сравнении с одной. - У Лейбница особенно подчеркивается требование такого пренебрежения, которому отдали дань и предшествующие изобретатели методов, касавшихся этих величин. Прежде всего именно это пренебрежение придает указанному исчислению, несмотря на то, что оно удобно, видимость неточности и явной неправильности способа его действий. - Вольф старался объяснить это пренебрежение [величинами], следуя своей манере делать общедоступными рассматриваемые им вопросы, т. е. лишать понятие чистоты и подменять его неправильными чувственными представлениями. А именно он сравнивает пренебрежение бесконечно малыми разностями высших разрядов относительно низших с образом действия геометра, при котором измерение высоты горы нисколько не делается менее точным, если ветер сдунет песчинку с ее вершины или если не будет принята во внимание высота домов и башен при вычислении лунных затмений (Element. mathes. univ. Tom I. El. analys. math. P. II. C. I. S. schol.).
Если снисходительность здравого смысла дозволяет такую неточность, то все геометры, напротив, отвергали такого рода представление. Сама собой напрашивается мысль, что в математической науке идет речь вовсе не о такой эмпирической точности и что математическое измерение посредством ли вычислении или посредством геометрических построений и доказательств совершенно отлично от измерения земли, от измерения эмпирических линий, фигур и т. п. Да и помимо того, как уже было указано выше, аналитики, сравнивая результаты, получаемые строго геометрическим путем, с результатами, получаемыми методом бесконечно малых разностей, доказывают, что они одинаковы и что большая или меньшая точность [здесь] вовсе не имеет места. А ведь само собой разумеется, что абсолютно точный результат не мог бы получиться при неточном способе действия. Однако, с другой стороны, сам способ действия, несмотря на протесты против приведенных в оправдание доводов, не может обойтись без пренебрежения [величиной ] на том основании, что она незначительна. И в этом состоит трудность, побуждающая аналитиков объяснить заключающуюся здесь бессмыслицу и устранить ее.
По этому вопросу следует прежде всего привести мнение Эйлера. Исходя из общего определения Ньютона, он твердо убежден, что дифференциальное исчисление рассматривает отношения приращений величины, но что бесконечно малую разность, как таковую, следует рассматривать как нуль (Institut. calc. different., р. I. с. III). - Как это надо понимать, видно из изложенного выше; бесконечно малая разность есть нуль лишь как определенное количество, а не качественный нуль; а как нуль по количеству она скорее чистый момент лишь отношения. Она не различие на некоторую величину. Но именно поэтому, с одной стороны, вообще ошибочно называть моменты, именуемые бесконечно малыми величинами, также и приращениями или убываниями и разностями. Это определение исходит из того, что к имеющейся сначала конечной величине что-то прибавляется или что-то от нее отнимается, что производится некоторое вычитание или сложение, некоторое арифметическое, внешнее действие. Но что касается перехода от функции переменной величины к ее дифференциалу, то по нему видно, что он совершенно другого характера, а именно, как уже было разъяснено, он должен рассматриваться как сведение конечной функции к качественному отношению ее количественных определений. - С другой стороны, сразу бросается в глаза ошибочность утверждения, будто приращения сами по себе - это нули и будто рассматриваются только их отношения; ведь нуль вообще уже не имеет никакой определенности. Это представление, стало быть, хотя и доходит до отрицательности определенного количества и определенно выражает эту отрицательность, однако в то же время не схватывает ее в ее положительном значении качественных определений количества, которые, если хотят вырвать их из отношения и брать их как определенные количества, окажутся лишь нулями. - Лагранж 109 (Theorie des fonct. analyt. Introd.) замечает относительно представления о пределах или последних отношениях, что, хотя и можно очень хорошо представить себе отношение двух величин, пока они остаются конечными, это отношение не дает рассудку ясного и определенного понятия, как только его члены становятся одновременно нулями. - И в самом деле, рассудок должен выйти за пределы той чистой отрицательности, что как определенные количества члены отношения суть нули, и понять их положительно как качественные моменты. - А то, что Эйлер (в указанном месте 84 и ел.) прибавляет еще относительно данного [им ] определения, чтобы показать, что две так называемые бесконечно малые величины, которые якобы не что иное, как нули, тем не менее находятся в отношении друг к другу, и потому для их обозначения пользуются не знаком нуля, а другими знаками, - нельзя признать удовлетворительным. Он хочет это обосновать различием между арифметическим и геометрическим отношениями: в первом мы обращаем внимание на разность, во втором - на частное, и, хотя арифметическое отношение между двумя нулями [всегда] одинаково, это не значит, что точно так же обстоит дело с геометрическим отношением; если 2:1-0:0, то по природе пропорции, так как первый член вдвое больше второго, третий член тоже должен быть вдвое больше четвертого; поэтому на основании этой пропорции отношение 0 : 0 должно быть взято как отношение 2:1.- Также и по обычной арифметике п х 0 ° 0; следовательно, п: 1=0:0.- Однако именно потому, что 2 : 1 или п: 1 есть отношение определенных количеств, ему не соответствует ни отношение, ни обозначение 0 : 0.
- Предыдущая
- 62/221
- Следующая
